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exo rapide (sup)

Posté par xoudar (invité) 24-01-06 à 22:09

Salut tout le monde, l'exercice peut surement vous parait-facile et c'est là que se trouve mon problème : je ne sais pas comment le rédiger. Est-ce que quelqu'un pourrait me donner un coup de main, merci d'avance

Soit f une fonction définie sur R, dérivable en 0. Soit (an) et (bn) deux suites convergeant vers 0, telles que pour tout n appartenant à N : an < 0 < bn        (1).
Montrer que la suite (un) définie par : un =  [f(bn) - f(an)] / [ bn - an] converge vers f'(0).

Le résultat subsiste-t-il si on supprime la relation (1) ?

Posté par
kaiser Moderateurre : exo rapide (sup) 24-01-06 à 22:37

Bonsoir xoudar

pour la première partie de la question, utilise le théorème des accroissements finis.

Kaiser

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : exo rapide (sup) 26-01-06 à 17:09

Bonjour;
Attention kaiser:l'application du théorème des accroissements finis nécéssite la dérivabilité de f sur un voisinage de 0 et non seulement en 0.
Ici on n'a la dérivabilité de f qu'en 0.
Mais on peut écrire:
\fbox{f(b_n)=f(0)+b_nf'(0)+b_n\beta_n\\f(a_n)=f(0)+a_nf'(0)+a_n\alpha_n} avec \fbox{\lim_{n\to+\infty}\alpha_n=\lim_{n\to+\infty}\beta_n=0} d'où \fbox{\frac{f(b_n)-f(a_n)}{b_n-a_n}=f'(0)+\underb{\frac{b_n\beta_n-a_n\alpha_n}{b_n-a_n}}_{\gamma_n}} remarquons maintenant vu que \fbox{b_n>0\\a_n<0} que \fbox{min(\alpha_n,\beta_n)\le\gamma_n\le max(\alpha_n,\beta_n)}(la suite \gamma_n est en fait un barycentre à coefficients positifs des deux suites \alpha_n et \beta_n) et donc que \fbox{\lim_{n\to+\infty}\gamma_n=0} ce qui donne le résultat souhaité.
Sauf erreurs bien entendu

Posté par
kaiser Moderateurre : exo rapide (sup) 26-01-06 à 18:14

Bonjour elhor_abdelali

Oh, temps pour moi ! Je crois que je n'ai pas bien lu l'énoncé !

Em même temps, il était tard !! (non ! non ! Je ne cherche pas du tout d'excuses!! )

Kaiser


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