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Exo suites

Posté par
Meyrees 04-09-21 à 21:05

Bonjour, j'espère que la rentrée s'est bien passé pour vous.

Cela fait plus de deux jours que je n'arrive pas à résoudre une question d'un exercice de suites. Voici l'énoncé:

\large On \: considere \: la \: suite \: definie \: par: \begin{cases} & \text{ } u_0= 0 \: \: \: u_1= 1 \\ & \text{ } u_{n+2} = -u_{n+1} +2u_n \end{cases} \\ 1) \:Calculer \: u_2, \: u_3 \: et \: u_4\\ \\ 2) \: On \: pose \: v_n = u_{n+1} - u_n \: pour \: n \geq 0; montrer \: que \: (v_n) \: est \: geométrique.\\ \\ 3) \: Determiner \: v_n \: en \: fonction \: de \: n \\ \\ 4) \: Justifier \: que \: u_n = \sum_{k=0}^{n-1}{v_k} \: \:pour \: n\geq 0 \\ \\ Pour\: la \:3) \:je\: trouve\: que \: (v_n) \: est \: geometrique\: de\: raison\: q = (-2) \:et\: je\: tombe \:sur \:v_n = (-2)^n\\ \\ Pour \:la \:4) \:j'ai \: developpe \:la \:somme \:avec \:la formule \: \frac{1-q^{n+1}}{1-q} \\ \\ Je \: tombe \: finalement \:sur \: \frac{1-v_n}{3} \:et \: j e\: n'arrive \:pas \: a \:transformer \:u_n \:afin \:de \:retomber \: sur \:cette \:expression.

Merci d'avance.


malou edit > * merci de n'utiliser le Ltx que pour les formules mathématiques (pas pour le texte) *   

Posté par
carpediemre : Exo suites 04-09-21 à 21:34

salut

v_0 = \\ v_1 = \\ v_2 = \\ ... \\ v_{n - 1} =

puis additionne ...

Posté par
Meyreesre : Exo suites 04-09-21 à 21:53

Je \: tombe \: sur \: \frac{1-(-2)^n}{3} = \frac{1-v_n}{3} \: en \: additionnant\: tout \: mais \: je \: n'arrive \: pas \: à \: conclure.

malou edit > * merci de n'utiliser le Ltx que pour les formules mathématiques (pas pour le texte) * car les moteurs de recherche ne peuvent pas alors le trouver *

Posté par
Meyreesre : Exo suites 04-09-21 à 22:12

Meyrees @ 04-09-2021 à 21:53


Je tombe sur \frac{1-(-2)^n}{3}=\frac{1-v_n}{3} en additionnant tout mais je n'arrive pas à conclure.


malou edit > * merci de n'utiliser le Ltx que pour les formules mathématiques (pas pour le texte) * car les moteurs de recherche ne peuvent pas alors le trouver *

Posté par
carpediemre : Exo suites 05-09-21 à 09:04

certes mais

v_0 = u_1 - u_0 \\ v_1 = u_2 - u_1 \\ v_2 = u_3 - u_2 \\ ... \\ v_{n - 2} = ... \\ v_{n - 1} = ...

puis additionne ...

Posté par
Meyreesre : Exo suites 05-09-21 à 17:54

Je trouve que \sum_{k=0}^{n-1}{v_k} = \sum_{k=0}^{n-1}{(u_{n+1}-u_n)}=\frac{1-v_n}{3}

Malgré votre réponse je n'arrive pas à justifier

Posté par
carpediemre : Exo suites 05-09-21 à 18:08

tant que tu n'écriras pas ces n égalités (en complétant certaines) sur un brouillon et que tu ne les additionneras pas textuellement tu n'auras pas le résultat voulu ...

v_0 = u_1 - u_0
v_1 = u_2 - u_1
v_2 = u_3 - u_2
v_3 = ...
...
v_{n - 3}= ...
v_{n - 2} = ...
v_{n - 1} = ..

Posté par
Meyreesre : Exo suites 05-09-21 à 19:02

J'ai écris les égalités comme ceci:

v_0=u_1-u_0 =1-0 = 1 =(-2)^0 \\ \\ v_1=u_2-u_1=-1-1=-2=(-2)^1\\ \\ v_2=u_3-u_2=3+1=(-2)^2 \\ \\ v_3 = u_4 - u_3 = -5-3 = (-2)^3 \\ ...\\ v_{n-3} =u_{n-2} -u_{n-3} = (-2)^{n-3} \\ \\ v_{n-2} =u_{n-1} -u_{n-2} = (-2)^{n-2}\\ \\ v_{n-1} =u_{n} -u_{n-1} = (-2)^{n-1}

Puis en additionnant, On a:

S = 1 + (-2)^1 + (-2)^2+ (-2)^3+ (-2)^4... + (-2)^{n-3}+ (-2)^{n-2}+ (-2)^{n-1}\\ \\ S = \frac{1-q^n}{1-q}= \frac{1-(-2)^n}{1-(-2)}=\frac{1-v_n}{3}

Je tombe sur ce résultat mais ce ne sait pas si ce raisonnement suffit pour répondre à la question 4).

Posté par
malou Webmasterre : Exo suites 05-09-21 à 19:04

Bonjour
Meyrees,pas de chance...Ltx est en panne depuis ce matin, chose qui arrive assez rarement

Posté par
Meyreesre : Exo suites 05-09-21 à 19:11

malou @ 05-09-2021 à 19:04

Bonjour
Meyrees,pas de chance...Ltx est en panne depuis ce matin, chose qui arrive assez rarement

Bonjour, est-il possible d'attacher une image pour y remédier ?

Posté par
malou Webmasterre : Exo suites 06-09-21 à 08:55

Ltx est réparé

Posté par
carpediemre : Exo suites 06-09-21 à 09:28

carpediem @ 05-09-2021 à 18:08

tant que tu n'écriras pas ces n égalités (en complétant certaines) sur un brouillon et que tu ne les additionneras pas textuellement tu n'auras pas le résultat voulu ...  et sans les valeurs numériques mais uniuement les égalités que j'ai écrites !!!

v_0 = u_1 - u_0 \\ v_1 = u_2 - u_1 \\ v_2 = u_3 - u_2 \\ v_3 = ... \\ ... \\ v_{n - 3}= ... \\ v_{n - 2} = ... \\ v_{n - 1} = ...


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