Bonjour et merci de prendre le temps de me lire,
j'ai un exo de math que je ne comprend pas et qu'il faut que je comprenne absolument pour me préparer au ds.
voila l'éxo;
Le but de cet exercice est de déterminer la limite de la suite (Un)n>1 définie par Un= (1+(1/n)^n
Soit f la fonction définie sur ℝ par f(x )= exp^x-x-1
1°) a) Etudier les variations de la fonction f .
b) En déduire que : ∀𝑥 ∈ℝ , 𝑓(𝑥)≥0.
2°) Justifier brièvement que : pour tout entier naturel n non nul, la fonction x--> x^n est
strictement croissante sur ]0; +infini[ et que la fonction x--1/x^n est strictement décroissante sur ]0; +infini[
.
3°) En déduire, à l'aide de 1°), les inégalités ( 1) ( 2) et suivantes :
Pour tout entier naturel n non nul : (1 ) exp^(n/1)> strictement 1+(1/n) puis que (2 )exp^(-1/(n+1)) > strictement à 1-(1/(n+1))
4°) a) En utilisant (1 )et 2°), démontrer que pour tout entier naturel n non nul : (1+(1/n))^n<strictement exp
b) En utilisant (2 )et 2°), démontrer que pour tout entier naturel n non nul : esp <strictment (1+(1/n))^(n+1)
5°) Déduire des questions précédentes un encadrement de (1+(1/n))^(n+1) puis lim un lorsque n-> +inifni
pour la 1a j'ai trouvé la dérivée qui est esp^x-1 et j'ai dis que elle etait négative pour x<o et positive pour x>0 donc que f(x) est décroissante lorsque x appartient à -infini 0 et croissante sur 0 + infini.
Pour la b je l'ai démontrée en faisant une inéquation: e^x-x-1> 0 ssi e^x-1>x donc comme e^x-x-1 est une soustraction, quelque soit x appartenant à r, e^x-x-1 >0
cependant je me doute que c'est faux puisque je ne déduit pas ca de la question 1
pour la 2 comprend tout à fait que c'est vraie mais je ne sais pas comment le prouver (hérédité peut être ?)
pour la 3,4, 5 je suis en train de chercher
merci d'avoir prix le temps de me lire en esperant que vous m'aidiez.
je rectifie; je viens de comprendre la b de la question 1, j'ai fini par mettre: comme f est strictement décroissante sur ] 0; +infini[ et strictement croissante sur ]-infini;0[, g admet un minimum en 0 et pour tout réel x, f(x) >strictement g(o) = f(x) >strictement à 0
ok merci, pour la 2) dans mon cour on me dis que la lim n^k lorsque n tend ver l'infini est égale à plus l'infini seulement on ne me montre pas pourquoi elle est strictement croissante
je pourrais dire que comme x>1 alors, quelque soit n appartenant à N, x'->x^n > 0 donc la fonction puissance est croissante ?
Attention : x n'est pas >1 . Ne confond pas les exposants et les variables. Une fonction puissance ,pour x positif est ....
Tout simplement .
ne confond pas nxqui est une fonction exponentielle de x et xnqui est une puissance de x
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