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EXO SUR LES ln AIDEZ MOI SVP
"Pour tout réel k strictement positif, on considére la fonction fk définie
sur [0; + oo[ par fk(x) = ln ( e^x + kx)-x. Soit Ck la courbe représentative
de la fonction fk dans le plan muni d'un repére orthogonal (O;i;j)
*ETUDE PRELIMINAIRE MISE EN PLACE D'UNE INEGALITE
On considére la fonction g définie sur [0; + oo[ par g(x) = ln (1+x)-x
1/ Etudier le sens de variation de g
2/ En déduire que pour tout réel a positif ou nul ln(1+a)< ou = a
* PARTIE A ETUDE DE LA FONCTION f1 DEFINIE SUR [0; + oo[ PAR f1(x)
= ln(e^x+x)-x
1/ Calculer f'1(x) et en déduire le sens de variation de la fonction
f1
2/ Montrer que pour tout réel x appartenant à l'intervalle [0;
+ oo[ f1(x) = ln(1+(x/e^x)). En déduire la limeite de f1 en +oo
3/ tableau de variation de f1
* PARTIE B ETUDE ET PROPRIETES DES FONCTIONS fk
1/ Calculer f'k sur [0; + oo[ et en déduire le sens de vaiation
de fk
2/ Montrer que pour tout réel x appartenant à l'intervalle [0;
+ oo[ fk = ln(1+k(x/e^x)). en déduire la limite de fk en +oo
3/ a. Tableau de variation de fk
b. Montrer que pour tout réel x de l'intervallle [0; + oo[ on a
fk(x) < ou = k/e
4/ Détermeiner une équation de la tangente Tk à Ck au point O
5/ Soit p et m 2 réels strictement positifs tel que p<m étudier la position
relative de Cp et Cm "
slt alex
1/
variation de g:
calculons g' on a
g'(x)=1/(1+x)-1=-x/(1+x)<0 car x est dans [0,+oo[
donc g decroissante
2/
g(0)=0et elle est decroissante donc on a forcement pour tout x de [0,+oo[
g(x) 
0
ou encore ln(1+x) x
partie A
je vais traiter les questions de cette partie en même temps
f'1(x)=(ex+1)/(ex+x)-1
=(1-x)/(ex+x)
donc tableau de variation
x 0 1 +oo
---------------------------------
f' + 0 -
--------------------------------
f 0
f(x)=ln(ex(1+x/ex)-x
=ln(ex)+ln(1+x/ex)-x
=ln(1+x/ex)
lim en +oo
x/ex tend vers 0 donc f1 tend vers 0
partie B
1/
f'k(x)=(ex+k)/(ex+x)-1
=(k-x)/(ex+x)
donc tableau de variation
x 0 k +oo
----------------------------------------
f'k + 0 -
----------------------------------------
fk 0 croi decroi
fk(x)=ln(ex(1+k(x/ex)))-x
=ln(1+k(x/ex)) de la même maniere que pour f1
en +oo tend tjs vers 0
bon le tableau tu arriveras à le faire sans probleme
aides toi de la question 2 des preliminaires pour montrer que
fk(x)<=k/e
eq de la tangente
y=f'k(x)(x-0)+fk(0)
mais fk(0)=0
donc y=xf'k(0)=x
etudions fm(x)-fp(x)
et sers toi de fk(x) k/e
fais le pour m et p et suivant le signe de la difference tu auras la reponse
verifie quand meme
bon a+ 
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