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Exo sur les logarithmes
Bonjour, j'ai un DM de maths à rendre le problème est que je bloque sur la dernière question. Voici l'énoncé:
On considère les fonctions f et g définies sur l'intervalle ]0;+
[ par f(x)= ln(x) et g(x)=(ln(x))². On note C et C' es courbes représentatives respectives de f et g dans un repère orthogonal.
1) Etudier la postion relatives des courbes C et C':
f(x)-g(x)= (ln x)(1-ln x) après avoir étudier le signe je trouve:
f(x) < g(x) sur ]0;1[U]e;+[ et f(x)>g(x) sur ]1;e[.
2) Pour tout nombre réel x de l'intervalle ]0; +[, on appelle M le point d'abscisse x de la courbe C et N le point de la courbe C' de même abscisse.
a) Sur l'intervalle ]1;e[, pour quelle valeur de x la distance MN est-elle maximal.
J'ai fait la dérivé de f(x)-g(x) = (1-2ln x)/x et en étudiant le signe je trouve que la distance MN de 1/4 lorsque x=e1/2
b) Démontrer qu'il existe deux valeurs distinctes a et b strictement positives pour lesquelles MN=1.
C'est ici que je bloque, si vous pouvez me mettre sur une piste, merci.
Bonjour, donc déjà tu sais que les valeurs que l'on cherche ne sont pas entre 1 et e (le maximum de MN étant 1/4 dans cet intervalle, il ne peut pas y avoir de valeurs telles que MN = 1. Donc il faut chercher dans les intervalles ]0;1] et [e;+[
Autrement dit montrer que ln²x-lnx = 1 a deux solutions (graphiquement on voit que c'est une dans chaque intervalle en fait).
il suffit d'étudier la fonction h(x) = ln²x-lnx-1 et d'utiliser le théorème des valeurs intermédiaires ( montre que la fonction est positive quand on s'approche de 0 et négative pour x=1). Pareil pour l'autre intervalle.
bonjour,
après la remarque de Glapion, on peut aussi résoudre X²-X-1=0
avec le changement X=ln(x)
puis en déduire les deux valeurs de x cherchée...
mm 
si tu veux vham !
mais bon, je ne vois rien de plus rapide que de dire que X²-X-1 = 0 a de façon évidente et sans calcul un discriminant positif et donc deux solutions réelles distinctes.
En prime on peut même les calculer en valeurs exactes.
mm
je ne vois rien de plus rapide que de dire que X²-X-1 = 0 a de façon évidente et sans calcul un discriminant positif et donc deux solutions réelles distinctes.
oui tout à fait, c'est plus simple que d'utiliser le théorème des valeurs intermédiaires.
Merci pour vos réponses. J'utilise donc X= ln x mais ne faut-il pas que je le mette dans cette ordre -X²+X-1 ? Car je fais avec f(x)-g(x).
Donc il me suffit de faire delta je trouve que c'est positif soit il y a deux solutions a et b. Mais faut-il que je m'arrête là? Ou bien je calcule les deux solution?
On te demande juste de montrer qu'il y a 2 solutions sans te les demander explicitement, donc tu peux arrêter la.
J'ai un problème car lorsque je fait delta avec -X²+X-1 je trouve -5 ils n'y a donc pas deux solutions mais aucune...
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