salut
premierement erreur d'enoncé :
c'est u^4+u^3+u^2+u+1=u²[(u+1/u)²+(u+1/u)-1]
et u^4+u^3+u^2+u+1=u² (4cos²x+2cos x -1)

3) on va distinguer 2 cas : x=2Pi/5 c'est a dire u=exp(2iPi/5) ou x=4Pi/5 c'est a dire u=exp(4iPi/5)

u^4+u^3+u^2+u+1 est la somme des 5 premiers termes de la suite geometrique de raison u et de premier terme 1.

dans les 2 cas u different de 1.la raison u etant differente de 1 on peut ecrire :
donc u^4+u^3+u^2+u+1=(u^5-1)/(u-1)
u^5=[e^(2iPi/5)]^5=1
donc u^4+u^3+u^2+u+1=0

1 er cas x=2Pi/5 c'est a dire u=exp(2iPi/5)

donc d'apres 2, u^4+u^3+u²+u+1= u² (4cos²(2Pi/5)+2cos (2Pi/5) -1)
or d'apres ce qui a ete dit plus haut u^4+u^3+u^2+u+1=0
donc u² (4cos²(2Pi/5)+2cos (2Pi/5) -1)=0

u different de 0 donc
4cos²(2Pi/5)+2cos (2Pi/5) -1=0
on prend X=cos(2Pi/5)
4X^2+2X-1=0
solution X=(-1+racine(5))/4 ou X=(-1-racine(5))/4.
ici x=2PI/5 donc x est compris entre 0 et Pi/2
donc cos(2Pi/5)>=0 donc X=cos(2Pi/5)=(-1+racine(5))/4

2eme cas x=4Pi/5 c'est a dire u=exp(4iPi/5)
en faisant la meme chose qu'au premier cas on arrive a
4cos²(4Pi/5)+2cos (4Pi/5) -1=0
on prend X=cos(4Pi/5)
on obtiens la meme equation :
4X^2+2X-1=0
solution X=(-1+racine(5))/4 ou X=(-1-racine(5))/4.

ici 4pi/5 est compris entre Pi/2 et Pi donc son cosinus est NEGATIF.X=cos(4Pi/5)=<0.
donc X=cos(4Pi/5)=(-1-racine(5))/4

4) on cherche les points d'intersection du cercle d'équation X²+Y²+X/2-1/4=0 avec l'axe des réels.
il existe au moins un point d'intersection car A((-1+racine(5))/4,0) est sur le cercle et sur l'axe des reels.
donc si il existe un point d'intersection (on peut le supposer car A en est un), ses coordonnees verifient le systeme suivant :

X²+Y²+X/2-1/4=0
Y=0

donc Y=0 et X^2+X/2-1/4=0

donc Y=0 et 4X^2+2X-1=0

d'apres ce qui a ete fait en 3) tu peux dire
que X=cos(2Pi/5) ou X=cos(4Pi/5)

ce qui repond a la question.

5)X²+Y²+X/2-1/4=(X+1/4)^2+Y^2-5/16=0
donc X²+Y²+X/2-1/4=0 <=> (X+1/4)^2+Y^2=5/16
donc le cercle en question est le cercle de centre C(-1/4,0) et de rayon racine(5)/4.

maintenant la construction.
construire un cercle de centre 0 et de rayon 8 cm.on l'appelle C1.
pui un autre de centre C(-1/4,0) et de rayon racine(5)/4.on l'appelle C2
(la longueur racine(5) est la distance de l'hypothenuse d'un triangle rectangle dont les autres cotes ont pour longueur 1 et 2).

a l'intersection de ce cercle C2 avec l'axe des reels, on a les valeurs cos(2Pi/5) et cos(4Pi/5) (d'apres 4).
soit I d'affixe cos(2Pi/5) et J d'affixe cos(4Pi/5)
tu traces les droites d1 d2 perpendiculaires a l'axe des reels et passant respectivement par I et J.
chaque droite coupe le cercle C1 (de rayon 8 cm et de centre O) en 2 points.
pourquoi ? le rayon de C1 est 1 et tout point de la droite d1 est definie par Re(z)=cos(2Pi/5)
et |cos(2Pi/5)|<1.donc d1 coupe C1 en deux points.
meme chose pour d2 avec |cos(4Pi/5)|<1.

pour d1 qui coupe C1. elle coupe C1 en deux endroits.
M1 et M4.
car Re(zM1)=cos(2Pi/5) donc M1 est sur d1.
et |zM1|=1 donc M1 est sur C1.
meme chose pour M4.

meme chose pour d2 qui coupe C1. d2 coupe C1 en deux points M2 et M3.

je crois que tu sais placer M0.

nos 5 points sont placés,il suffit de tracer les segments [M0,M1],[M1,M2],[M2,M3],[M3,M4],[M4,M0] pour avoir notre pentagone.

voila.a+