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exo sur les probabilités
Bonjour,Voici le problème :
Juliette débute un jeu dans lequel elle a autant de chances de gagner que
de perdre la première partie. On admet que, si elle gagne une partie,
la probabilité qu'elle gagne la partie la partie suivante est
0.6, et si elle perd une partie, la probabilité pour qu'elle
perde la partie suivante est 0.7. On note, pour n entier naturel
non nul :
Gnl'évènement "Juliette gagne la nième partie", Pn l'évènement "Juliette
perd la nième partie".
On pose, pour n entier naturel non nul :
xn=P(Gn) et yn=P(Pn)
1) Déterminer les probabilités P(P(n+1)) sachant Gn réalisé et P(G(n+1))
sachant Pn réalisé.
2) Montrer que, pour tout n entier naturel non nul :
x(n+1)=0.6xn+0.3yn
y(n+1)=0.4xn+0.7yn
3) On pose : vn=xn+yn et wn=4xn-3yn
a) Montrer que la suite vn est constante de terme général 1
b) Montrer que la suite wn est géométrique et exprimer wn en fonction
de n.
4)
a) Déduire du 3, l'expression de xn en fonction de n
b) Montrer que la suite xn converge et déterminer sa limite.
Merci de pouvoir m'aider. J'ai surtout des problèmes avec les
questions 3 et 4.
Merci d'avance
Hello !!
C'est parti pour le 3/
a/
vn = xn + yn
= 0,6xn-1 + 0,3yn-1 + 0,4xn-1 + 0,7yn-1
= (0,6+0,4)xn-1 + (0,3+0,7)yn-1
= xn-1 + yn-1
= vn-1
vn = vn-1 pour tout n non nul, donc ta suite (vn) est constante
Premier terme v1 = x1 +y1 = P(G1) + P(P1)
G1 = "juliette gagne la 1° partie"
P1 = "juliette perd la 1° partie"
Or on nous dit qu'au 1er tirage, juliette a autant de chances de
gagner que de perdre, donc P(G1) = P(P1) = 0,5
donc v1 = x1 +y1 = P(G1) + P(P1) = 0,5 + 0,5 = 1
vn est donc une suite constante de terme général 1
b/
w n = 4x n - 3y n
= 4(0.6x n-1 + 0.3y n-1) - 3(0.4x n-1
+ 0.7y n-1)
= 2,4x n-1 + 1,2y n-1 - 1,2x n-1
-2,1y n-1
= 1,2x n-1 - 0,9y n-1
= 0,3(4x n-1 - 3y n-1)
= 0,3 w n-1
(Wn) est donc une suite géométrique de raison q=0,3
wn = qnw1
avec q = 0,3
w1 = 4x1 - 3y1
w1 = 4*0,5 - 3*0,5
w1 = 0,5
wn = 0,3n*0,5
4/
a/d'après le 3/ on a
xn + yn = 1
4xn - 3yn = 0,3n * 0,5
yn = 1-xn
4xn - 3(1-xn) = 0,3n *0,5
4xn - 3 + 3xn = 0,3n *0,5
7xn = 0,3n *0,5 +3
xn = (0,3n *0,5/7) + (3/7)
b/ quand n -> + infini, 0,3n tend vers zéro
la suite (xn) converge vers 3/7
Voilà !!
Surtout revérifie les calculs !!
Bon courage @+
Zouz
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