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Niveau terminale
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exo sur les suites

Posté par
ilyesboudib
18-09-22 à 13:49

Bonjour je suis en terminal générale j'ai vraiment besoin d'aide pour cet exercice je suis vraiment perdu aidez moi svp
Exercice n° 2
On considère la suite (𝑢𝑛) définie pour tout entier naturel 𝑛 par 𝑢0 = 1 𝑒𝑡 𝑢𝑛+1 = 2𝑢𝑛 − 𝑛 + 3
1. Calculer 𝑢1 𝑒𝑡 𝑢2
2. Montrer que la suite (𝑢𝑛) n'est ni arithmétique, ni géométrique.
3. Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel 𝑛, on a 𝑢𝑛 = 3 × 2
𝑛 + 𝑛 − 2
4. Etudier le sens de variation de la suite (𝑢𝑛)
5. Vérifier que pour tout entier naturel n on a 𝑢𝑛 = 𝑥𝑛 +𝑦𝑛 où (𝑥𝑛
) est une suite géométrique et (𝑦𝑛) une suite
arithmétique dont on précisera pour chacune le premier terme et la raison.
6. On pose pour tout entier naturel 𝑛, 𝑆𝑛 = 𝑢0 + 𝑢1 + ⋯ .+𝑢𝑛
Déduire des questions précédentes, l'expression de 𝑆𝑛 en fonction de n

Posté par
hekla
re : exo sur les suites 18-09-22 à 13:57

Bonjour

Qu'est-ce qui vous pose problème ?

Que proposez-vous d'abord ?

Posté par
ilyesboudib
re : exo sur les suites 18-09-22 à 14:22

je suis bloquer a partir de la question 3
(désolé il y avait une erreur dans la question 3 c'est :3. Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel 𝑛, on a 𝑢𝑛 = 3 ×2^𝑛 + 𝑛 − 2)

Posté par
ilyesboudib
re : exo sur les suites 18-09-22 à 14:23

je vous envoie ce que Jai fait dans les 2 premières?

Posté par
hekla
re : exo sur les suites 18-09-22 à 14:27

Non, parce que la photo de résultats n'est pas autorisée sur le site.
Vous pouvez recopier ce que vous avez fait  ou dire comment vous avez obtenu le résultat.

Posté par
ilyesboudib
re : exo sur les suites 18-09-22 à 14:41

voici mes réponses pour les 3 premières
1)
u1=5
u2=12
  2)u1/u0=5
u2/u1=2.4
la suite n'est pas géométrique
u2-u1=5
u1-u0=7
la suite n'est pas arithmétique
3)
initialisation
3*2^0+0-2=1
donc la propriété est juste pour n=0
  hérédité
up=3*2^p+n-2
up+1=3*2^p+1-2
            =3*2^p-1
up+1=2(3*2^p+p-2)-p+3
            = 3*2^p+1+2p-4-p+3
            =3*2p+1+p-1
donc la proprieté est vrai pour p+1

Posté par
hekla
re : exo sur les suites 18-09-22 à 14:52

Il faut garder des notations cohérentes

Propriété de récurrence :  u_p=3\times 2^p+p-2

 u_{p+1}=2\left(3\times 2^p+p-2\right)-p+3

à continuer pour aboutir à

 u_{p+1}=3\times 2^{p+1}+(p+1)-2

Posté par
ilyesboudib
re : exo sur les suites 18-09-22 à 14:55

u_{p+1}=3*2^{p+1}+(p+1)-2
ca donne 3*2^{p+1}+p-1
non?

Posté par
hekla
re : exo sur les suites 18-09-22 à 15:03

Là, vous commencez par remonter

définition de la suite  u_{n+1}=2u_n-n+3

l'hypothèse de récurrence u_k=3\times 2^k+k-2

on calcule u_{k+1} en utilisant la définition de la suite

Posté par
ilyesboudib
re : exo sur les suites 18-09-22 à 15:07

oui
2'(3* 2^k+k-2)-k-2
on remplace Un avec le le Un qu'ils nous ont donné dans la question

Posté par
hekla
re : exo sur les suites 18-09-22 à 15:15

Que faites vous ?
on veut montrer que p(k) vraie entraîne p(k+1) vraie

Vous trafiquez, je ne sais quoi, avec p(k+1)

u_{k+1}=2u_k-k+3

on utilise l'hypothèse de récurrence

u_{k+1}=2(3\2^k+k-2)-k+3

on agite un peu en simplifiant

on arrive à

 u_{k+1}=3\times 2^{k+1}+(k+1)-2

et on conclut

Posté par
ilyesboudib
re : exo sur les suites 18-09-22 à 15:21

ok j'ai compris on faite j voulais juste simplifier c'est tout

Posté par
hekla
re : exo sur les suites 18-09-22 à 15:23

Bon, on passe à la suite alors ?

Posté par
ilyesboudib
re : exo sur les suites 18-09-22 à 15:23

je suis bloquer pour le reste 😅

Posté par
hekla
re : exo sur les suites 18-09-22 à 15:30

Comment montre-t-on qu'une suite est croissante ?

Utilisez le résultat précédent

Posté par
ilyesboudib
re : exo sur les suites 18-09-22 à 15:39

pour la 4 on Un+1-Un
3*2^n+1+n-1-(3*2^n+n-2)>=0
3*2^n+1+n-1-3*2^n-n+2>=0
3*2^n*2^11-3*2^n+1>=0
6*2^n-3*2^n+1>=0
maintenant étudiant le signe de
6*2^n>=3*2^n aven n appartient a IN donc 6*2^n-3*2^n est positif c'est a dire quelle est croissante
6*2^n-3*2^n+1>=0

Posté par
hekla
re : exo sur les suites 18-09-22 à 15:59

Il faudrait mettre des parenthèses ou utiliser les outils pour écrire correctement

 u_{n+1}-u_n= 3\times 2^{n+1}+n-1-\left(3\times 2^{n}+n-2\right)

u_{n+1}-u_n= 3\times 2^{n+1}-3\times 2^n+1

mettez 3\times 2^n en facteur et concluez

D'où vient le 11 le 6 ?

Posté par
ilyesboudib
re : exo sur les suites 18-09-22 à 16:05

le 11 est une erreur de frappe c 2^1
et le 6
cest 3*2^1 donc jai extrait 2^1  de 2^p+1

Posté par
ilyesboudib
re : exo sur les suites 18-09-22 à 16:09

ok c'est bon pour cette question
celle d'apres comment on trouve Xn et Yn

Posté par
ilyesboudib
re : exo sur les suites 18-09-22 à 16:10

j'ai rien compris a cette question j'ai rien pu faire est ce que vous pouvez m'aider, svp ?

Posté par
hekla
re : exo sur les suites 18-09-22 à 16:11

Si je comprends ce que vous avez voulu écrire

u_{n+1}-u_n= 3\times 2^{n+1}-3\times 2^n+1

u_{n+1}-u_n= 3\times 2\times2^{n}-3\times 2^n+1

u_{n+1}-u_n= 6\times 2^{n}-3\times 2^n+1

u_{n+1}-u_n= 3\times 2^{n}+1

Positif comme somme de deux termes positifs

Posté par
hekla
re : exo sur les suites 18-09-22 à 16:14

u_n= 3\times 2^n+n-2


Que pouvez-vous dire de 3\times 2^n ?

de n-2 ?

Posté par
ilyesboudib
re : exo sur les suites 18-09-22 à 16:39

ah ouiiii
3* 2^n est géométrique
et   n-2 est arithmétique

Posté par
hekla
re : exo sur les suites 18-09-22 à 16:41

Il faut le prouver, préciser raison et premier terme.

Posté par
ilyesboudib
re : exo sur les suites 18-09-22 à 16:42

2 est la raison

Posté par
hekla
re : exo sur les suites 18-09-22 à 16:42

Pour quelle suite ?

Posté par
ilyesboudib
re : exo sur les suites 18-09-22 à 16:46

Xn est 3* 2^n
et Yn est  n-2
on  les a pris de 3 × 2^𝑛 + 𝑛 − 2
3*2^n  et n-2

Posté par
hekla
re : exo sur les suites 18-09-22 à 16:50

D'accord, mais il faut les caractériser : raison, premier terme
x_n=3\times 2^n

( x_n) suite géométrique de raison et de premier terme

y_n= n-2  

( y_n) suite arithmétique de raison et de premier terme

Posté par
ilyesboudib
re : exo sur les suites 18-09-22 à 16:53

la raison de Xn est 2 et le U0= 3

a raison de Xn est 1 et le U0= -2

Posté par
hekla
re : exo sur les suites 18-09-22 à 16:54

Il faut se méfier des copier-coller.

oui, en remplaçant le second x_n par y_n

Posté par
ilyesboudib
re : exo sur les suites 18-09-22 à 17:02

oui

Posté par
ilyesboudib
re : exo sur les suites 18-09-22 à 17:03

c'est juste que j fait en parallel dans mon cahier et je donne les résultat que je trouve

Posté par
hekla
re : exo sur les suites 18-09-22 à 17:25

Que trouvez-vous alors ?



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