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exo sur les suites (maths spé)

Posté par benoît (invité) 31-12-02 à 20:55

Bonsoir,

On considère la fonction:
f(x)=(1/2).(x+a/x), où "a" est un réel strictement positif et la suite (U(n)) définie
par:
Un = f(Un-1)
Uo = a

1)Montrer que f(R+*) est inclue dans R+* (j'ai réussi)
2)Donner les limites éventuelles de (Un) : c'est+/- racine de "a"
3)Montrer que:
Un-sqrt(a) =
(1/2). ((U(n-1) - sqrt(a))^2)/(U(n-1))
j'ai réussi
4)Montrer que : quelque soit n appartenant à N*,
Un>=sqrt (a)
j'ai réussi (sqrt = racine)

5)Soit la suite (x(n)) telle qu'il existe un réel b qui, pour tout
entier n, vérifie: x(n) <= b.(x(n-1))^2
Donner une majoration de x(n+1) en fonction de x1, b et n.
j'ai réussi et ma réponse est :
x(n+1) <= (b.^((2^n)-1))*(x(1))^(2^n)
quelque soit n appartenant à N*
(je l'ai démontré par récurrence...)

6)En déduire une majoration de
U(n+1) - sqrt(a) en fonction de n et de sqrt(a).
J'ai également réussi, mais le résultat est un peu compliqué à exprimer
sur le net. Je vais essayer:
U(n+1) - sqrt(a) <= 2* (N/D)^(2^n)

où: N=(1/2)*(a+1)- sqrt(a)
et
D= 2* sqrt((1/2)*(a+1))

7) Déterminer la limite de U(n). Et voici mon "PROBLEME"! En fait,
par simple observation , la limite à trouver est sqrt(a), c'est
à dire qu'il faut arriver à montrer que mon expression compliquée
trouvée à la question précédente tende vers zéro; c'est à dire
à droite de U(n+1) - sqrt(a). On sait déjà, que U(n+1) - sqrt(a)
>=0 d'après la question 4).
Ainsi, mon problème se résume à déterminer une limite, mais un peu complexe
pour moi !
La dernière question du problème est de montrer que U(n+1) - sqrt(a)
<=
(Max(1,a))/(2^2^n)

Avec cette dernière question, on pourrait penser qu'il faut étudier
3 cas: a=1, a>=1 et a<=1...

Pourriez-vous m'aider pour ces deux dernières questions?
Merci beaucoup d'avance
A+ et bonne année
Benoît



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