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Exo sur ln

Posté par
sasuke57
05-03-22 à 19:37

Bonsoir à toutes et à tous.
Voici un exo d'entrainement, merci d'avance pour l'aide.

Lors d'une expérience en laboratoire, on lance un projectile dans un milieu fluide. On modélise le projectile par un point qui se déplace, dans un plan vertical, sur la courbe représentative de la fonction f définie sur (0;1( par:
f(x)= 5x +2ln (1-x)
où x est l'abscisse du projectile, f(x) son ordonnée, toutes les deux exprimées en mètre.

1.a. Montrer que, pour tout réel x € (0;1( :
f'(x) = (3-5x)/1-x
b. En déduire le tableau de variations de f.
c. Quelle est la hauteur maximale atteinte par le projectile?

2.a. Démontrer que l'équation f(x)=0 admet deux solutions sur (0;1( : 0 et un réel a>0,8.
Donner une valeur approchée de a à 0,001 près.
b. Interpréter la valeur de a dans le contexte.

Posté par
sasuke57
re : Exo sur ln 05-03-22 à 19:47

Je bloque à la fin de la 1ere:

on sait que (ln(u))' = u'/u

Donc (ln(1-x))'= -1/1-x

f'(x)= 5 + 2x(-1/1-x)

Je n'arrive pas a trouver le résultat

Posté par
sasuke57
re : Exo sur ln 05-03-22 à 20:02

S'il vous plait aidez-moi je ne peux pas avancer

Posté par
Pirho
re : Exo sur ln 05-03-22 à 20:03

Bonjour,

ajoute les parenthèses indispensables et supprime le x dans 2x

car le x prête à confusion

Posté par
sasuke57
re : Exo sur ln 05-03-22 à 20:06

Bonjour!!

f'(x) = 5 + (2 \times (\frac{-1}{1-x}))

Posté par
sasuke57
re : Exo sur ln 05-03-22 à 20:07

Je ne vois pas comment obtenir

f'(x) = \frac{3-5x}{1-x}

Posté par
Pirho
re : Exo sur ln 05-03-22 à 20:36

et si tu réduisais au même dénominateur

Posté par
sasuke57
re : Exo sur ln 05-03-22 à 20:39

5+ (2 \times (\frac{-1}{1-x})) = 5+ (\frac{2}{1}\times \frac{-1}{1-x})= 5+ (\frac{-2}{1-x})

Posté par
Pirho
re : Exo sur ln 05-03-22 à 20:40

tu n'as pas fini!

Posté par
sasuke57
re : Exo sur ln 05-03-22 à 20:46

= \frac{5}{1}+ \frac{-2}{1-x}= \frac{5(1-x)-2}{1-x}=\frac{5-5x-2}{1-x}=\frac{3-5x}{1-x}
désolé je rédigeai

Posté par
sasuke57
re : Exo sur ln 05-03-22 à 20:46

Bingoo

Posté par
sasuke57
re : Exo sur ln 05-03-22 à 20:50

Continuons:

f'(x) = 0 <=> 3-5x =0
-5x= -3
x= 3/5

Posté par
sasuke57
re : Exo sur ln 05-03-22 à 20:51

x>0 donc la fonction est croissante

Posté par
sasuke57
re : Exo sur ln 05-03-22 à 20:52

Ah non je me trompe

Posté par
Pirho
re : Exo sur ln 05-03-22 à 20:58

n'oublie pas

\dfrac{a}{b}=0 \iff\begin{cases} a=0 \\ b\ne 0 \end{cases}

Posté par
sasuke57
re : Exo sur ln 05-03-22 à 21:00

Ca va être le signe de 3-5x

Posté par
sasuke57
re : Exo sur ln 05-03-22 à 21:01

il faut que x\neq1

Et pour 3-5x, x=3/5

Posté par
Pirho
re : Exo sur ln 05-03-22 à 21:06

sasuke57 @ 05-03-2022 à 21:01

il faut que x\neq1

Et pour 3-5x = 0, x=3/5

Posté par
sasuke57
re : Exo sur ln 05-03-22 à 21:16

Oui désolé

Posté par
sasuke57
re : Exo sur ln 05-03-22 à 21:19

Donc x=3/5

f(x)= 5 x (3/5) + 2ln(1- 3/5)
= 1,16 mais ça sort de l'intervalle

Posté par
sasuke57
re : Exo sur ln 05-03-22 à 21:21

Ou plutôt c'est égal à 3+2ln(2/5)

Posté par
sasuke57
re : Exo sur ln 05-03-22 à 21:23

Je vous envoie le tableau de variation

Posté par
sasuke57
re : Exo sur ln 05-03-22 à 21:30

Le voici:

Exo sur ln

Posté par
Pirho
re : Exo sur ln 06-03-22 à 09:19

f(\dfrac{3}{5})= 3+2\, ln(\dfrac{2}{5})

Posté par
sasuke57
re : Exo sur ln 06-03-22 à 09:33

C'est ca! Mon tableau est correct?

De plus ce que vous dites correspond au maximum atteint par le projectile non?

Posté par
Pirho
re : Exo sur ln 06-03-22 à 09:53

sasuke57 @ 06-03-2022 à 09:33

C'est ca! Mon tableau est correct? oui à la correction près

De plus ce que vous dites correspond au maximum atteint par le projectile non? oui

Posté par
sasuke57
re : Exo sur ln 06-03-22 à 10:20

Passons à la suite: il faut démontrer que l'équation f(x)=0 admet deux solutions sur (0;1( : 0 et un réel a>0,8.

Posté par
sasuke57
re : Exo sur ln 06-03-22 à 10:23

En effet, f(0)= 5x 0 +2ln (1-0)= 0
Parcontre je n'ai pas compris pour a>0,8

Posté par
Pirho
re : Exo sur ln 06-03-22 à 10:49

tu pourrais faire un tableau avec x \in[0.8;1] et calculer f(x) pour les différentes valeurs. Tu verras que f(x) va changer de signe à un certain moment. D'où tu peux en déduire la racine

En fait la racine vaut x\approx{0.892644}
 \\

Posté par
sasuke57
re : Exo sur ln 06-03-22 à 10:54

Effectivement, je l'ai fais sur ma calculatrice mais comment je pourrais démontrer que pour a>0,8, f(x)=0
Sinon j'ai bien obtenu la valeur que vous avez marqué

Posté par
Pirho
re : Exo sur ln 06-03-22 à 11:13

tu appliques le TVI sur ]f(max);+\infty[

Posté par
sasuke57
re : Exo sur ln 06-03-22 à 11:29

Ah parce que d'après le tableau que j'avais fait 0,8 est entre 3/5 et 1.

Posté par
sasuke57
re : Exo sur ln 06-03-22 à 11:32

b. Interpréter la valeur de a dans le contexte.

a = 0,8926 ca veut dire que la ou le projectile va atterrir c'est ca?

Posté par
Pirho
re : Exo sur ln 06-03-22 à 11:38

oui

Posté par
sasuke57
re : Exo sur ln 06-03-22 à 13:02

Merci beaucoup pour votre aide incroyable et votre patience.
Je vous souhaite une excellente journée

Posté par
Pirho
re : Exo sur ln 06-03-22 à 13:24

de rien, nous somme là pour ça  

Posté par
littleguy
re : Exo sur ln 06-03-22 à 14:17

Bonjour,

Juste un "détail" pour sasuke57: le tableau de variations de 21:30 hier soir est ambigu pour x=3/5  (la double-barre et  le zéro pour la dérivée sont incompatibles).

(et bonjour à toi aussi Pirho )

Posté par
Pirho
re : Exo sur ln 06-03-22 à 17:14

Bonjour littleguy

ça m'avais échappé, merci

Posté par
sasuke57
re : Exo sur ln 06-03-22 à 18:16

Ah je dois mettre qu'une seule barre désolé
Merci beaucoup



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