Bonjour,
je ne vois pas marqué dans cet énoncé piège que R est sur le cercle (en d'autres termes le cercle ne sert à rien, à part son diamètre, c'est une partie du piège)
ceci est confirmé par la précision que R doit être différent de O
en effet un point du cercle serait forcément différent de son centre sans qu'il soit besoin de le préciser.
à priori la propriété est vraie quel que soit R du plan sauf U (car la droite RU n'est pas définie)
y compris O et T si on accepte des droites "parallèles ou confondues", sinon c'est toute la droite (TU) qu'il faut rejeter.
la démonstration de gwendolin est valable pour tout R du plan sauf sur la droite (TU)
si on suppose que R est sur le cercle (et donc que l'énoncé est mal conçu, ou mal recopié), les deux démonstrations marchent.
reste donc à voir si l'énoncé est un piège volontaire, dans lequel on tombe en mettant R sur le cercle, ou pas...
dans le doute je pense qu'il vaut mieux être prudent.