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Exo TYPE BAC (SUITES)
J'ai d'énormes difficultées avec les suites..Quelqu'un pourrait-il m'aider s'il vous plait ne serai-ce qu'un petit coup de pouce pour me faire avancer..car la c'est le flou total 
Merci de votre compréhension.
NB: cet exercice est à faire en moins de 20 min, je viens d'y passer 45 minutes et pour vous dire.....
On définit, pour tout entier naturel n>0, la suite (Un)
de nombres, réels strictement positifs par Un=n²/2^n.
1)Pour tout entier naturel n>0, on pose Vn = (Un+1)/Un
a)Montrer que lim Vn=1/2
n-->+inf
b)Montrer que pour tout entier naturel n>0, Vn >1/2
c)Trouver le plus petit entier N tel que, si n
N, Vn<3/4
d)En déduire que si nN alors Un+1<3/4Un.On pose, pour tout entier naturel n5,Sn=u[/sub]5+u[sub]6+...+u[/sub]n
2)On se propose alors de montrer que la suite (S[sub]n) n5 est convergente.
a)Montrer par récurrence que pour tout entier naturel n5:
Un
(3/4)[sup][/sup]n-5 u[sub][/sub]5
salut
1a)
V(n)=[U(n)+1]/U(n) ou V(n)=[U(n+1)]/U(n) ?
V(n)=[U(n+1)]/U(n)
en tout cas merci à toi de t'y coller minotaure 
c'est bien ce que je pensais.merci de confirmer.
V(n)=[U(n+1)]/U(n)=[(n+1)^2/2^(n+1)]/[n^2/2^n]=[(n+1)/n]^2 / 2.
[(n+1)/n]^2=[1 + 1/n]^2
donc V(n)=(1/2)*[1 + 1/n]^2
la suite (1/n)n tend vers 0 donc V tend vers 1/2.
oui merci bcp.. pr ta réponse je suis deja un peu plus sur de moi c'est aussi ce que j'avais trouV ...mais
Trouver le plus petit entier N tel que, si nN, Vn<3/4.
Quelle méthode pourrais-je utiliser?
b) reprenons l'egalite :
V(n)=(1/2)*[1 + 1/n]^2
1/n>0 pour tout n.
donc 1 + 1/n>1
la fonction x->x^2 est strictement croissante sur ]1,+oo[ donc [1 + 1/n]^2>1
donc (1/2)*[1 + 1/n]^2>1/2
c) resolvons d'abord V(n)<3/4
on va trouver une partie de N puis il suffira de prendre le plus petit parmi les elements de l'ensemble.
v(n)<3/4
(1/2)*[1 + 1/n]^2<3/4
donc [1 + 1/n]^2<3/2
la fonction x->x^(1/2) est croissante sur R*
et comme 1+1/n>0
on a 1+1/n<(3/2)^(1/2)
donc 1/n<(3/2)^(1/2)-1
la fonction x->1/x est decroissante sur R+*
donc n>1/[(3/2)^(1/2)-1]
1/[(3/2)^(1/2)-1]>4,45
donc n>4,45
donc les solutions de l'inequation V(n)<3/4 sont les n superieurs ou egaux a 5.
on prend maintenant le plus petit : 5.
donc V(n)>1/2
remarque : la valeur de N a trouver ici est petite.
on peut calculer V(1),V(2)...jusqu'a V(5)
on verifiant que V(1)>=3/4,V(2)>=3/4...V(4)>=3/4 et V(5)<3/4.
WOOWWWW tu es vraiment fort.J'avoue tu m'as épaté :|... je ne saurais comment te remercier.UN GRAND GRAND MERCI à toi d'avoir usé de ton temps!!BRAVO MINOTAURE
la d decoule du c. en precisant neanmoins que pour tout n U(n)>0.
merci. mais regarde la remarque.
du fait que N est petit elle est bien plus rapide et plus facile. (enfin je dis facile, mais il faut apres faire les calculs et ca peut paraitre lourd a force...)
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