bonjour
permettez moi de vous répondre

Soit f l'application du plan qui à M(x;y) associe
le point M'(x';y') tel que
x'=1/2(x-rc(3)y)
y'= 1/2(xrc(3) + y)

Soit D la droite d'équation x-yrc(3)=1

1)Définir analytiquement la symétrie S d'axe D.?

soit M(x,y) un point et M'(x',y') son image par la symétrie
d'axe D.

Le milieu I((x+x')/2,(y+y')/2) de MM' appartient à D
donc:

(x+x')/2 - (y+y')rc(3)/2=1

ssi x'-y'rc(3)=2-x+yrc(3)        (1)

le vecteur directeur u(rc(3),1) de la droite D est orthogonal à MM'

donc u.MM'=0

ssi rc(3)(x'-x)+(1).(y'-y)=0

ssi x'rc(3)+y'=xrc(3)+y         (2)

donc (x',y') est solution du système formé par les deux équation
(1) et (2).

x'-y'rc(3)=2-x+yrc(3)        (1)
et
x'rc(3)+y'=xrc(3)+y         (2)

le dterminant D=1+3=4

x'=1/4(2-x+yrc(3))+rc(3)(xrc(3)+y))
   =1/4(2-x+yrc(3))+3x+rc(3)y))
   =1/2(x+yrc(3)+1)

y'=1/4(xrc(3)+y-rc(3)(2-x+yrc(3)))
   =1/4(2xrc(3)-2y-2rc(3))
   =1/2(xrc(3)-y-rc(3))

donc la symétrie S d'axe D est donnée par son expression analytique
suivante:

x'= 1/2(x+yrc(3)+1)

y'= 1/2(xrc(3)-y-rc(3))


2) Définir analytiquement l'application g telle que g = S o f ?

soit M(x,y) un point, son image (M'(x',y')) par f par est
donnée par:

x'=1/2(x-rc(3)y)
y'= 1/2(xrc(3) + y)

l'image M''(x'',y'') de M'(x',y')
par S est donnée par:

x''= 1/2(x'+y'rc(3)+1)

y''= 1/2(x'rc(3)-y'-rc(3))


x''=1/2(x'+y'rc(3)+1)
    = 1/2(1/2(x-rc(3)y))+rc(3)/2(1/2(xrc(3) + y) +1/2
    =x/4-rc(3)y/4 +3x/4 + rc(3)y/4 +1/2
    =x+1/2

y''=1/2(rc(3)/2(x-rc(3)y)-1/2(xrc(3) + y) -rc(3))
    =xrc(3)/4-3y/4-xrc(3)/4-y/4-rc(3)/2
    = -y -rc(3)/2

donc l'expression analytique de g=Sof est donnée par l'image
M'x',y') de M(x,y) tels que:

x'=x+1/2
y'=-y-rc(3)/2


3) Montrer que si g (M)=M' alors l'ensemble des milieux de
[MM'] est une droite D'.

soit I'((x+x')/2,(y+y')/2) le milieu de M et de sont image
M' par g:

alors

(x+x')/2=(x+x+1/2)/2=x+1/4

(y+y')/2=(y-y-rc(3)/2)/2=-rc(3)/4

donc le milieu I' de MM' appartient à la droite D' d'quation

y=-rc(3)/4.


4) Soit S' la symétrie d'axe D' .

soit M(x,y) un point et M'(x',y') sont image par S'.

alors (y+y')/2=-rc(3)/4

y'=-y-rc(3)/2

D' a pour vecteur directeur i.

donc i.(MM')=0 ssi (x'-x)(1)+(y-y').(0)=0
                          ssi x'=x

donc S' est définie analytiquement par :

x'=x
y'=-y-rc(3)/2

comme x=x' et y=-y'-rc(3)/2

donc S' est une bijection (isométrie) involtive (S'oS'=I)
et ça vous devez le savoir déjà.

donc si  t' est telle que g=t' o S'

alors en composant à droite les deux membres par S'^(-1)=S'
vous obtenez
goS'^(-1)=(t'oS')oS'^(-1)
                 =t'o(S'oS'^(-1))  ; car la loi o est
associative.
                 = t'.
comme S'^(-1)=S'

donc t'=goS'

on va maintenant cherchez l'expression analytique de goS'.

x''=x'+1/2
y''=-y'-rc(3)/2

avec
x'=x
y'=-y-rc(3)/2

donc

x"=x+1/2
y"=-(-y-rc(3)/2)-rc(3)/2=y

soit T le vecteur de composantes (1/2,0)
alors le vecteur
MM"(x"-x,y"-y)=(1/2,0)=T

donc

MM"=T

donc M" est l'image de M par la translation de vecteur T.

t' est est donc une translation de vecteur T.


et en déduire une construction simple de g(M) pour M donné. ?

comme g=t'oS'

Soit M' l'image de M par S'
       M'' l'image de M' par t'

donc M" est l'image de M par g

alors M'M"=T et M'=S'(M)

à partir de M on construit le point M' symétrique de M par rapport
à D' ensuite en translate M' en M" par la translation
de vecteur T.

voila

je vous pris de reprendre cette solution sans la regarder pour vous
aider à assimiler votre cours et de construire un raisonnement logique
mathématique rigoureux. Car en effet, c'est le but.

Je vous demande de rendre votre solution et non pas celle-ci. Car en
effet, c'est tout ce que je vous demande d'observer.

bonne chance.

bon courage.

Je te remercie beaucoup beaucoup Watik, tu as du passé pas mal de
temps sur se problème.
C très gentil de ta par et j'espère a une prochaine fois.
Au faite pourrais-je savoir quel niveau d'étude tu as ???
Merci encore