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Exos défi : Intégrale et somme

Posté par
Nightmare 27-01-08 à 17:14

Bonjour à tous

Deux petits exos très sympathiques à résoudre

1) Montrer que 3$\rm \Bigsum_{k=1}^{n}\frac{(-1)^{k+1}}{k} C_{n}^{k}=\Bigsum_{k=1}^{n} \frac{1}{k}

2) Soit 3$\rm I_{n}=\Bigint_{0}^{\frac{\pi}{2}} sin^{n}t dt

a) Calculer la limite de In
b) (plus difficile) En donner un équivalent


jord

Posté par
simon92re : Exos défi : Intégrale et somme 27-01-08 à 17:29

salut salut!

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Posté par
simon92re : Exos défi : Intégrale et somme 27-01-08 à 17:49

bon ok, mon explication est fausse, mais je crois que ma réponse est tout de même bonne

Posté par
ottore : Exos défi : Intégrale et somme 27-01-08 à 18:06

Salut,
l'intégrale entre 0 et 1 n'est pas très intéressante, tu ne veux pas la prendre plutôt entre 0 et pi/2 ?

Posté par
simon92re : Exos défi : Intégrale et somme 27-01-08 à 18:10

ca revient a la même réponse pour la 1, mais sinon l'equivalence est facile, c'est la même integrale avec  cos^n t

Posté par
Nightmarere : Exos défi : Intégrale et somme 27-01-08 à 18:11

Oui autant pour moi l'intégrale est entre 0 et pi/2, merci doc.

Posté par
ottore : Exos défi : Intégrale et somme 27-01-08 à 18:12

mais sinon l'equivalence est facile
Propose.

Posté par
simon92re : Exos défi : Intégrale et somme 27-01-08 à 18:13

je l'ai proposée

Posté par
Nightmarere : Exos défi : Intégrale et somme 27-01-08 à 18:14

Ce n'est pas un équivalent simple...

Posté par
simon92re : Exos défi : Intégrale et somme 27-01-08 à 18:19

bah, je donne un équivalent on me demande un equivalent, je donne un équivalent
On me demande un équivalent simple, je donne pas

Posté par
Nightmarere : Exos défi : Intégrale et somme 27-01-08 à 18:21

Bon eh bien si tu veux que je repose la question :

Calculer la limite de 3$\rm nI_{n}. Là ton équivalent ne sert pas à grand chose

Posté par
infophilere : Exos défi : Intégrale et somme 27-01-08 à 19:28

Bonjour

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Posté par
gui_toure : Exos défi : Intégrale et somme 27-01-08 à 19:40

Salut Kév et tout le monde ^^

Kévin >

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Posté par
infophilere : Exos défi : Intégrale et somme 27-01-08 à 20:01

guitou >

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Posté par
Nightmarere : Exos défi : Intégrale et somme 27-01-08 à 20:40

La preuve est bonne Kevin Je n'avais pas la même.

Posté par
fusionfroidere : Exos défi : Intégrale et somme 27-01-08 à 22:24

De mémoire :

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A+

Posté par
Nightmarere : Exos défi : Intégrale et somme 27-01-08 à 22:27

Fusionfroide >

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Posté par
fusionfroidere : Exos défi : Intégrale et somme 27-01-08 à 22:28

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Posté par
infophilere : Exos défi : Intégrale et somme 28-01-08 à 06:32

Ok merci Jord

J'essaye l'intégrale plus tard.

Posté par
anonymere : Exos défi : Intégrale et somme 28-01-08 à 14:12

Nightmare >>

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Posté par
anonymere : Exos défi : Intégrale et somme 28-01-08 à 14:18

Nightmare >>

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Posté par
infophilere : Exos défi : Intégrale et somme 28-01-08 à 18:33

Bonjour

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Posté par
fusionfroidere : Exos défi : Intégrale et somme 28-01-08 à 19:17

Salut

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Posté par
gui_toure : Exos défi : Intégrale et somme 28-01-08 à 19:21

'Jour à tous

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Merci Jord

Posté par
infophilere : Exos défi : Intégrale et somme 28-01-08 à 19:42

Bon je vois que je me suis fait ch*** pour rien

Posté par
Nightmarere : Exos défi : Intégrale et somme 28-01-08 à 20:15

Bravo à tous

Beaucoup plus difficile :

Déterminer un équivalent de 3$\rm \Bigint_{0}^{\frac{\pi}{2}} sin(t^{n})dt

Posté par
infophilere : Exos défi : Intégrale et somme 28-01-08 à 20:17

Salut Jord

Dès que j'ai un moment je m'y penche, mais si tu juges ça beaucoup plus difficile je vais en baver

Bien le ski ?

Posté par
infophilere : Exos défi : Intégrale et somme 29-01-08 à 06:50

Dis Jord t'as fait comment toi pour la somme avec les coefficients binomiaux ?

Posté par
Nightmarere : Exos défi : Intégrale et somme 29-01-08 à 12:27

Salut

L'idée est simple, on sait que 3$\rm \frac{1-x^{n}}{1-x}=1+x+x^{2}+...+x^{n-1}
Soit en intégrant :
3$\rm \Bigint_{0}^{1} \frac{1-x^{n}}{1-x}dx=\Bigint_{0}^{1} (1+x+x^{2}+...+x^{n-1})dx
ie
3$\rm \Bigint_{0}^{1} \frac{1-x^{n}}{1-x}dx=\Bigsum_{k=1}^{n} \frac{1}{k}

Calculons la première intégrale :
On pose 3$\rm x=1-u\Rightarrow dx=-du

3$\rm \Bigint_{0}^{1} \frac{1-x^{n}}{1-x}dx=\Bigint_{1}^{0} \frac{1-(1-u)^{n}}{1-(1-u)}\times -du=\Bigint_{0}^{1} \frac{1-(1-u)^{n}}{u}du=\Bigint_{0}^{1} - \Bigsum_{k=1}^{n} C_{n}^{k} (-1)^{k} u^{k-1} du=\Bigint_{0}^{1}\Bigsum_{k=1}^{n} C_{n}^{k} (-1)^{k+1}u^{k-1} du
Et on intégre :
3$\rm \Bigint_{0}^{1} \frac{1-x^{n}}{1-x}dx=\Bigsum_{k=1}^{n} \Bigint_{0}^{1} C_{n}^{k} (-1)^{k+1} u^{k-1} du=\Bigsum_{k=1}^{n} C_{n}^{k} \frac{(-1)^{k+1}}{k}

Posté par
infophilere : Exos défi : Intégrale et somme 29-01-08 à 18:15

Salut

Joli ! L'idée a beau être simple, l'avoir l'est nettement moins !

Posté par
1 Schumi 1re : Exos défi : Intégrale et somme 30-01-08 à 13:44

Là, je dis "respect" quand même. Rien à dire.

Posté par
gui_toure : Exos défi : Intégrale et somme 28-02-08 à 19:09

Bonjour bonjour

Une méthode très proche de celle de Nightmare ..

Soit 3$\rm P=\Bigsum_{k=1}^n\(n\\k\)\fra{(-1)^{k+1}}{k} X^k ; 3$\rm X.P'=\Bigsum_{k=1}^n\(n\\k\)(-1)^{k+1} X^k = -\((1-X)^n-1\), d'où

3$\rm \Bigsum_{k=1}^n \(n\\k\) \fra{(-1)^{k+1}}{k} = P(1) = \Bigint_0^1P'(x)dx = -\Bigint_0^1 \fra{(1-x)^n-1}{x}dx = \Bigint_0^1 \fra{1-y^n}{1-y}dy = \Bigint_0^1\(\Bigsum_{k=0}^{n-1}y^k\)

Par contre là ... pour retomber sur 3$\rm \Bigsum_{k=1}^{n}%20\frac{1}{k}, somme de Riemann ?

Posté par
gui_toure : Exos défi : Intégrale et somme 28-02-08 à 19:18

Ok ok j'ai rien dit !

3$\rm \Bigint_0^1(1+y+y^2+...+y^{n-1})dy = \[y+\fra{y^2}{2}+\fra{y^3}{3}+..+\fra{y^{n}}{n}\]_0^1 = \Bigsum_{k=1}^n \fra{1}{k

Posté par
infophilere : Exos défi : Intégrale et somme 28-02-08 à 19:25

Posté par
gui_toure : Exos défi : Intégrale et somme 25-09-08 à 21:04

En farfouillant dans les entrailles de l'ile je suis tombé sur ce topic.

Jord, quand tu dis:

Citation :
Beaucoup plus difficile :

Déterminer un équivalent de 3$\rm \Bigint_{0}^{\frac{\pi}{2}} sin(t^n)dt


tu aurais une stûce ou une soluce ?

Posté par
Nightmarere : Exos défi : Intégrale et somme 25-09-08 à 21:55

Salut

Essaye en posant u=tn

Posté par
gui_toure : Exos défi : Intégrale et somme 26-09-08 à 14:41

Oki

Pour 3$n\ge1,

3$\rm u=t^n\\t=u^{1/n}\\dt=\fr1n.u^{1/n-1}du

3$\rm \Bigint_{0}^{\frac{\pi}{2}} sin(t^n)dt = \fr1n\Bigint_0^{{4$\(\fr{\pi}{2}\)}^{n}} u^{\fr1n-1}\sin(u)du


Mm je dois encore réfléchir, j'aurais pensé à une ipp ..

Posté par
Nightmarere : Exos défi : Intégrale et somme 26-09-08 à 19:25

Déjà, ça nous donne une idée de l'équivalent non?

Posté par
miltonre : Exos défi : Intégrale et somme 27-09-08 à 11:58

bonjour
soit z_n(x)=\frac{x^n}{n!}(lnx -\Bigsum_{k=\1}^{n}\frac{1}{k}) il suffit de monter que sa derrivée  ènnieme vaut lnx avec la formule de leibnitz et   ça coule

Posté par
Nightmarere : Exos défi : Intégrale et somme 29-09-08 à 12:13

Pour quel exercice milton?

Posté par
miltonre : Exos défi : Intégrale et somme 29-09-08 à 12:54

bonjour
pur le prmier
au fait on peut verrifier en derivant que z_n est la primitive ennième de lnx.
on pose alors
z_n(x)(n)=lnx   avec ln(p)(x)=-(-1)p\frac{(p-1)!}{x^p}

Posté par
miltonre : Exos défi : Intégrale et somme 29-09-08 à 13:27

au fait pour l'integrale c'est l'integrale de wallis je crois.et tu le sais c'est steirling et consors

Posté par
Nightmarere : Exos défi : Intégrale et somme 30-09-08 à 01:58

Tu as une idée pour le dernier équivalent?

Posté par
miltonre : Exos défi : Intégrale et somme 30-09-08 à 13:20

bonjour
j'ai essayé dans l'integrale de gui_tou le cv
u=nt et j'arrive à
n^{\frac{1}{n}-1}\Bigint_{0}^{(\frac{\pi}{2})^n\frac{1}{n}}x^{\frac{1}{n}-1}sin(nx)dx
et je suis sur cette piste en vu d'un encadrement avec deux terme consecutifs d'une suite telle queu_nu_{n+1}  pour n tres grand


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