Exos défi : Polynôme scindé, décomposition en éléments simples.

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Exos défi : Polynôme scindé, décomposition en éléments simples.
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Nightmare  21-12-07 à 23:54
Bonsoir à tous 

En ce premier jour de vacances, je vous propose deux exercices sympathiques sur les polynômes et fractions rationnelles.

Les deux sont de niveau sup mais plutot difficiles.

1) Soient P et A dans  scindés, n=deg(A) et  tel que .

Montrer que  est scindé sur 

2) Décomposer en éléments simples sur C :

A vous de jouer.

Jord
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monrow re : Exos défi : Polynôme scindé, décomposition en élément simpl  22-12-07 à 00:09
Salur jord

je pense que c'est 
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Nightmarere : Exos défi : Polynôme scindé, décomposition en élément simpl  22-12-07 à 00:12
Oui je corrige cela.
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simon92re : Exos défi : Polynôme scindé, décomposition en élément simpl  22-12-07 à 00:24
bonjour jord, juste pour savoir, c'est quoi des éléments simples?
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Nightmarere : Exos défi : Polynôme scindé, décomposition en éléments simp  22-12-07 à 00:30
Salut Simon 

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Un élément simple sur C est une fraction rationnelle de la forme  où a et b sont des complexes et c un entier.

On a le joli résultat que n'importe quelle fraction rationnelle sur C est décomposable en éléments simples.

Par exemple on prend , un petit calcul montre que cette fraction se décompose en 

Sur R les éléments simples sont les  et les 

(par exemple )

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simon92re : Exos défi : Polynôme scindé, décomposition en éléments simp  22-12-07 à 00:49
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ok, merci, quand on voit que ton dernier exemple est déja pas évident vaut mieux pas essayer ton exo 
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monrow re : Exos défi : Polynôme scindé, décomposition en éléments simp  22-12-07 à 18:17
Une petite indication Jord? 
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Nightmarere : Exos défi : Polynôme scindé, décomposition en éléments simp  23-12-07 à 00:00
Salut 

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Pour le premier déjà, essayer de voir ce qu'il se passe pour n=1
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monrow re : Exos défi : Polynôme scindé, décomposition en éléments simp  23-12-07 à 00:32
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Ok, je traite alors le cas pour lequel n=1

P est scindé donc : 

je veux montrer que  admet n racines aussi, pour cela je dois utiliser Rolle pour l'application définie par: f:R ---> R qui à x associe  dont la dérivée est: 

on a: f(alpha1)=f(alpha2)=...=f(alpha n) donc en utilisant Rolle n fois successives: f' s'annulle n fois au moins bien sûr. et d'autre part c'est clair qu'elle est de degré n donc Q scindé

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monrow re : Exos défi : Polynôme scindé, décomposition en éléments simp  23-12-07 à 00:35
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j'ai oublié de préciser:

f' s'annule n fois implique bien sûr que S=a0P+a1P' admet n racines (puisque l'exponentielle ne s'annulle pas) et de plus S de degré n donc S scindé 
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Nightmarere : Exos défi : Polynôme scindé, décomposition en éléments simp  23-12-07 à 13:18
Salut monrow 

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C'est bon pour n=1 !
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Nightmarere : Exos défi : Polynôme scindé, décomposition en éléments simp  23-12-07 à 14:39
Un indice pour le 2éme peut être?
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monrow re : Exos défi : Polynôme scindé, décomposition en éléments simp  23-12-07 à 14:42
D'abord un indice pour que je généralise