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Exos sur barycentres
Voila qq petits exos que j'ai a faire pr Mercredi .. J'bloque sur certaines questions ..
N°1
Dans le plan P , soit ABC un triangle équilatéral de coté 2. On désigne par I le milieu de [BC] et H son projeté orthogonal sur (AC ).
1/ Montrez que H est le barycentre des pts pondérés (A,1) , (C,3).
2/ En déduire une construction du barycentre G des pts (A,1) (B,2) (C,5).
J'ai trouvé AG= 1/4 AB + 5/8 AC, est ce bon ?
3/On considère l'ensemble Jk des pts M du plan qui vérifient:
MA²+2MB²+5MC²=k,
où k est un réel donné tel que C appartient a Jk.
Déterminer le réel k et la nature de l'ensemble Jk en précisant
2°
On considère l'équation : ( E m)= x²+y²-4mx-2y+4m=0
1/ Démontrer que, pour toute valeur de m, (Em) est l'équation d'un cercle Cm dont on précisera le centre et le rayon.
2/ Démontrer que tous les cercles Cm sont tangents entre eux en un point fixe.
3°
On considère les points (A(-3 , -3) B(1,1) et C(-4,4)
1/ Déterminer une équation cartésienne des dtes (AB) et (AC)
AB = 4x-4y-8=0 C'est bon, ?
AC = -x-7y-24=0 / / / / / ?
2/ Soit M(a,b) un pt du plan.
a) Déterminer en fonction de a et b les distances de M aux dtes AB et AC.
Pour M et AB >>> |a-b-2| / 
2
Pour M et AC >>> |-a-7b-24|/50.
b) Déterminer l'ensemble des points équidistants des dtes AB et AC.
Merci d'avance ..
2°
1/
x²+y²-4mx-2y+4m=0
x²-4mx+y²-2y+4m=0
x²-4mx + 4m² - 4m² + y²-2y + 1 - 1 + 4m=0
(x - 2m)² - 4m² + (y-1)² - 1 + 4m=0
(x-2m)² + (y-1)²= 4m²-4m+1
(x-2m)² + (y-1)² = (2m-1)²
C'est donc l'équation d'un cerccle de centre (2m ; 1) et de rayon = |2m-1|
Dans le cas particulier où m = 1/2, le cercle est réduit en 1 point, le point de coordonnées (1 ; 1)
-----
2/
Si tous les cercles sont tangents entre-eux, ce ne peut être au point (1 ; 1) puisqu'un des cercle (celui pour m = 1/2) est réduit en ce point.
(x-2m)² + (y-1)² = (2m-1)²
(y-1)² = -(x-2m)² + (2m-1)²
(y-1)² = -x²+4mx-4m²+4m²-4m+1
(y-1)² = -x²+4mx-4m+1
Pour x = 1, on a
Et donc la droite d'équation x = 1 est tangente à tous les cercles au point (1 ; 1)
Par conséquent, tous les cercles sont tangents entre-eux au point de coordonnées (1 ; 1)
-----
Sauf distraction. 
3°)
1/
Equation de la droite (AB):
y = ax + b
-3 = -3a+b
1 = a+b
--> a=1 et b = 0
Equation de (AB)= y = x
soit: x - y = 0
---
Equation de la droite (AC):
y = ax + b
-3 = -3a+b
4 = -4a+b
--> a=-7 et b = -24
Equation de (AC): y = -7x - 24
soit: 7x + y + 24 = 0
-----
2/
a)
De M à (AB): d1 = |b-a|/V2
de M à (AC): d2 = |7a+b+24|/V50
---
b)
d1 = d2 si on a:
|b-a|/V2 = |7a+b+24|/V50
|b-a| = |7a+b+24|/5
5|b-a| = |7a+b+24|
a et b étant les abscisse et ordonnées de M, M sera équidiqtant des 2 droites si il appartient à la courbe déquation:
5|y-x| = |7x+y+24|
--
Si y-x et 7x+y+24 sont de même signe, on a:
5(y-x) = 7x+y+24
5y-5x = 7x+y+24
12x - 4y + 24 = 0
3x - y + 6 = 0. C'est l'équation d'une droite.
Si y-x et 7x+y+24 sont de signe contraire, on a:
-5(y-x) = 7x+y+24
-5y+5x = 7x+y+24
2x + 6y + 24 = 0
x + 3y + 12 = 0. C'est l'équation d'une droite.
Les équations des 2 droites trouvées devraient être celles des bissectrices des droites (AB) et (AC)
L'ensemble des points équidistants des droites (AB) et (AC) est constitués des 2 bissectrices des droites (AB) et (AC).
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Sauf distraction. Vérifie.
Merci bien
mais dans le 2°
comment passe ton de la
x-2m)² + (y-1)² = (2m-1)²
(y-1)² = -(x-2m)² + (2m-1)²
(y-1)² = -x²+4mx-4m²+4m²-4m+1
(y-1)² = -x²+4mx-4m+1
a la fraction racine carrée ??
Merci bien
mais dans le 2°
comment passe ton de la
x-2m)² + (y-1)² = (2m-1)²
(y-1)² = -(x-2m)² + (2m-1)²
(y-1)² = -x²+4mx-4m²+4m²-4m+1
(y-1)² = -x²+4mx-4m+1
a la fraction racine carrée ??
Merci bien
mais dans le 2°
comment passe ton de la
x-2m)² + (y-1)² = (2m-1)²
(y-1)² = -(x-2m)² + (2m-1)²
(y-1)² = -x²+4mx-4m²+4m²-4m+1
(y-1)² = -x²+4mx-4m+1
a la fraction racine carrée avec comme numérateur -2x+4m??
deux nombres ayant le même carré sont égaux ou opposés donc :
y-1 = rac (....) ou y-1 = -rac(....)
à suivre!
Nan mais d'ou il vient le (-2x+4m) du numérateur ?
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