Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Exos sur egalité de 2 polynomes
Bonjour a tous.
Je propose l'exercice suivant.
Soit P et Q deux polynomes de C[X] tels que P et Q ont les memes racines et que P-1 et Q-1 on aussi les memes racines.
Montrer que P=Q
Pour cela, voila le raisonnement que j'ai adapté.
je supponse degP>=degQ
je veux montrer que P=Q, donc P-Q est nul
or, P-Q=(P-1)-(Q-1)
les racines des P-Q sont alors celles de P et celles de P-1.
or, les racines de P et P-1 sont distinctes, donc P-Q admet au moins 2.degP racines, comptées dans leur ordre de multiplicité. Mais a ceux la , il faut retrancher les racines multiples.
J'aimerais savoir si on peut trouver une inegalité sur le nombre de racines multiples?
Merci
Bonjour
On peut toujours dire que l'on compte les racines avec leur degré de multiplicité. Comme avec ton hypothèse, deg(P-Q)
deg(P), il me semble que le raisonnement est concluant.
Bonjour camelia.
effectivement, deg(P-Q)<=deg(P),
pour qu'il soit nulle, il faut qu'il ait un nombre de racines distinctes superieur a degP.
Or, on sait juste qu'il a 2.deg(P) racines comptées dans leur ordre de multiplicité.
ce que je cherche a faire, c est de trouver un majorant au nombre de racines doubles, il me semble que ca sera deg(P)-1, mais je n'arrive pas a le demontrer
On est dans C. Donc les polynômes se décomposent entièrement. Il est vrai que l'énoncé ne précise pas que les racines communes de P et Q ont la même multiplicité (je viens de comprendre ton problème 
) Donc il faut encore réfléchir!
Salut à tous,
C-Jay7, j'ai l'impression qu'il y a peut être besoin de préciser un peu plus l'énoncé, partce que là, je pense qu'il y a un problème. Par exemple si on prends les polynômes :
P=1 et Q=2
ils vérifient les hypothèses (P et Q puis P-1 et Q-1 ont les même racines, à savoir aucune) et pourtant ils ne sont pas égaux.
Il faut sans doute exclure les constantes et ne considérer que les polynômes ayant véritablement une racine.
À + 
.
c-jay : tu obtiendra l'inagalité que tu cherche en comptant les zéros de P' (avec leur ordre de multiplicité, si P ou P-1 on des racine d'ordre r, P' a des racines d'ordre r-1, et P' a au plus degP-1 racines...)
je ne comprend pas les explications de Ksilver.
"avec leur ordre de multiplicité, si P ou P-1 on des racine d'ordre r, P' a des racines d'ordre r-1, et P' a au plus degP-1 racines...)"
Merci pour votre aide 
et bien si P a une racine d'ordre r supérieur a 1, alors P' a une racine d'ordre r-1 tu es d'acord avec cela ?
ca marche aussi avec P-1 puisque (P-1)'=P'
si on note a le nombre de racine (sans les ordre de multiplicité) de P et b celui de P-1 alors on prouve que P-Q a a+b racine.
C etant algébriquement clos, la seul chose qui peut faire que a et b soit différent de n (le degré de P) ce sont les racines multiple.
et la remarque que j'ai faite montre que P' a au moins (n-a)+(n-b) racines.
d'ou 2n-(a+b) < n-1
a+b>n+1 et on conclu que P-Q=0 !
tu peux m'expliquer d'où vient ta dernière inégalité : 2n- (a+b) < n-1
est ce deg(P'-Q') < deg(P') ?
Bon j'ai compris le premier point celui de l'inégalité : 2n- (a+b) < n-1
mais ce que je ne comprend pas c'est : "la remarque que j'ai faite montre que P' a au moins (n-a)+(n-b) racines"
oui.
si P n'as que a racines (a<n), ca signifie que parmis ces racines certaines sont multiples.
on note v1,v2..va les ordre de multiplicité de ces racines.
v1+...+va=n
et pour chaque racine d'ordre vi de P, P' a une racines d'ordre de vi-1
donc P' a au moins v1-1+v2-1+...+va-1 =n-a racines
on recommence avec les racines de P-1 (différentes des racines de P)
donc P' a au moins (n-a)+(n-b) racines.
je voudrais vous demander autre chose Hors sujet.
J'ai envie de commencer mes TIPE. je me demande ce qu'il faut faire, ce par quoi je peux commencer ?
Merci encore !
ksilver >> je me demande en quoi est ce que la somme des ordres de multiplicités permet de déterminer le nombre de racines :
Pour P je suis d'accord car v1+...+va=n, on le tire à partir du degré.
Mais pour P' je ne comprend pas pourquoi l'égalité v1-1+v2-1+...+va-1 =n-a te permet de conclure que P' a n-a racines ?
euh ouais il etait assez bon, avec un autre, c est dailleurs les deux qui ont bien integré, sinon le reste cetait pas top.
ba notre prof dinfo et notre prof de maths, et je peux te dire qu il est vraiment excellent. Tu envisages de venir a poicaré?
j'ai compris ton post, mais il ne répond pas à ma question, car mon problème est de comprendre pourquoi est ce que dans le post de ksilver du 11/08/2007 à 22:55 il dit :
v1-1 + v2-1 + ... + vn-1 = n-a est le nombre minimal de racines de P' alors que pour moi c'est la somme des multiplicités des racines de P dans P' non ?
on travaille dans C[X], donc tout polynome est scindé.
(je reprends les notations de Ksilver)
P admet a racines, avec a<=degP car il peut avoir des racines multiples.
on note v1,v2..va les ordre de multiplicité de ces racines.
on sait aussi que v1+...+va=n
et pour chaque racine d'ordre vi de P, P' a une racines d'ordre de vi-1
est ce qu on est daccord jusque la?
Karim : je ne dis pas que P' a n-a racine, mais que P' a AU MOINS n-a racine : celle lié aux racines multiples de P. P' a de toute facon n-1 racine (vu qu'on compte avec les ordre de multiplicité)
c-jay7 : il etait le 1er issam >>> non, entre 3e et 5e selon les classement je dirais...
donc P' a au moins v1-1+v2-1+...+va-1 =n-a racines (pour les raisons cités precedemment)
on est daccord la?
ah d'accord moi je pensais qu'on ne comptait que les racines sans leur ordres de multiplicité, mais si c'est avec leur ordre de multiplicité je pense avoir tout compris. Dans ce cas on parle plutôt de degré non ?
Annuler
connectez vous
algèbre en post-bac