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Expérience aléatoire

Posté par
Theo92 21-02-21 à 01:41

Bonjour.
Je ne parviens pas à me représenter ce que peuvent être les probabilités associées à cette expérience.

On fixe a_1, a_2, ....., a_k    k entiers   k \geq 3
On fixe N tel que   N>max(a_1, a_2, ....., a_k)
On tire x dans {1,2,....,N}

1) donner P(x<3).  Le tirage est équiprobable. Je trouve   P(x<3)=P(X=1)+P(X=2) = \frac{1}{N} + \frac{1}{N}  = \frac{2}{N}

2) Si  A_i  est l'événement x est un multiple de  a_i,  donner    P(A_i)  pour  i=1,2,....,k   ???????

3)Donner les probabilités de  "x est un multiple de  a_1 et a_2"
    
     puis  "x est un multiple de  a_1 ou a_2"

    et pour finir  "x est un multiple d'au moins un des   a_1, a_2, ....., a_k"

Je vous remercie par avance pour votre aide.

Posté par
GBZMre : Expérience aléatoire 21-02-21 à 07:02

Bonjour,

Combien y a-t-il de multiples de a_i dans \{1,2,\ldots, N\} ? (Ça peut s'exprimer en termes de partie entière).

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Expérience aléatoire 21-02-21 à 09:25

Bonjour,
Juste une remarque :

Citation :
Le tirage est équiprobable
Qu'est-ce qui, dans l'énoncé, permet de l'affirmer ?

Posté par
GBZMre : Expérience aléatoire 21-02-21 à 09:39

Le rasoir d'Ockham : si on ne dit rien sur la façon dont on tire dans {1,2,...,N}, c'est qu'on suppose implicitement que c'est selon la loi uniforme. Cette hypothèse implicite est présente dans tous les exercices du type "on tire une boule dans une urne ..."

Posté par
Theo92re : Expérience aléatoire 21-02-21 à 15:03

Merci pour vos indications.
Je récapitule au point de ma compréhension.
1) pour tout x dans {1,2,...,N}, la proba de l'événement {x} est égale à 1/N
2) pour chaque a_i, l'événement A_i est l'ensemble des entiers x dans  {1,2,...,N} tel que x = n x a_i pour n>0.

Donc P(A_i)=\sum_{m \in A_i} P(X=m)=\sum_{m \in n \times a_i} \frac{1}{m}=\frac{1}{n \times a_i}   ????

3) x multiple de a_1 et a_2 =   P(A_1 \cap A_2)= ?????

4)x multiple d'au moins un des k entiers a_k ????

Je vous remercie à nouveau pour votre aide.

Posté par
GBZMre : Expérience aléatoire 21-02-21 à 15:06

Non, tu écris n'importe quoi, là.

Pourquoi écris-tu que P(X=m)= \dfrac1m ?

Posté par
Theo92re : Expérience aléatoire 21-02-21 à 15:19

Si je note  q_{i,j}  le ppcm de a_i et a_j, alors x multiple des 2 revient à dire que x multiple de q_i,j donc

P(A_1 \cap A_2)=\sum_{m=n \times q_{1,2}} \frac{1}{n \times q_{1,2}}  ?????

Posté par
Theo92re : Expérience aléatoire 21-02-21 à 15:22

Dois-je plutôt écrire  P(A_i)=P(n \times a_i)= \frac{1}{n \times a_i} ?

Posté par
GBZMre : Expérience aléatoire 21-02-21 à 15:22

Réponds à ma dernière question, s'il te plaît.

Posté par
DOMOREAExpérience aléatoire 21-02-21 à 15:27

bonjour,
tu n'as pas compris l'indice donné par GBZM.
Tu dois déterminer le nombre n_ide multiples  de a_i qui sont  \leq N
exemple: a_i=7 et  N=37, alors 1x7,2x7,3x7,4x7,5x7  comment trouver 5 ?
et que vaut p(A_i) ?

Pour la 3)a) un PPMC semble indiqué.
Pour la 3)b)   |A_i\cup A_2|=|A_1|+|A_2|-|A_1\cap A_2|.
Pour la 3)c) je pense qu'il faut utiliser la généralisation de la formule précédente et l'idée de la 3)a).
Je te laisse avec GBZM à qui je dis bonjour.

Posté par
Theo92re : Expérience aléatoire 21-02-21 à 15:40

Merci à vous.

Domorea, on trouve 5 dans l'exemple en disant que 5 est inférieur à la partie entière de N divisé par a_i ?

Posté par
GBZMre : Expérience aléatoire 21-02-21 à 15:53

Je répète ma question, à laquelle je n'ai toujours pas de réponse :

GBZM @ 21-02-2021 à 15:06

Pourquoi écris-tu que P(X=m)= \dfrac1m ?

Posté par
Theo92re : Expérience aléatoire 21-02-21 à 16:02

Si je récapitule bien, A_i est l'ensemble des x dans {1,...,N} qui sont multiples de a_i fixé dans {1,...,N} donc des x qui s'écrivent x=n * a_i et n doit être inférieur à la partie entière de N/a_i ?

GBZM : pour P(A_i), on cherche le nombre de n inférieur à la partie entière de N/a_i tel que x=n * a_i. Elle sera égale au cardinal de ce nombre de n divisé par le cardinal de {1,...,N}?

Posté par
GBZMre : Expérience aléatoire 21-02-21 à 16:24

Pourquoi ne réponds-tu pas à ma question ?

GBZM @ 21-02-2021 à 15:06

Pourquoi écris-tu que P(X=m)= \dfrac1m ?

Posté par
Theo92re : Expérience aléatoire 21-02-21 à 16:30

Je crois que j'ai écrit une mauvaise transcription de A_i.
On cherche le cardinal des n inférieurs à la partie entière de N/a_i.
P(X=m) n'a pas de sens. C'est p(A_i) que l'on cherche, soit Card({n tq n< partie entière(N/a_i)} divisé par Card({1,...,N})=N  ?????

Posté par
Theo92re : Expérience aléatoire 21-02-21 à 16:32

Je ne retrouve pas pourquoi j'ai pu écrire P(X=m)=1/m, je n'arrive plus à me l'expliquer.

Posté par
GBZMre : Expérience aléatoire 21-02-21 à 16:51

Le nombre de multiples de a_i dans {1,...,N} est la partie entière de N/a_i, on est d'accord là-dessus. Ça donne P(A_i).

Pour la 3, DOMOREA a donné des indications.

Je parierais que dans la suite on te demande une limite pour N tendant vers l'infini. Gagné ?

Posté par
Theo92re : Expérience aléatoire 21-02-21 à 17:18

Je reviens au tout début de votre remarque.
On a  n_i  le nombre de multiples de a_i  dans {1,...,N} qui est égal à la partie entière de  \frac{N}{a_i}.
P(A_i) est la probabilité que x s'écrive   n_i \times a_i  cad qu'il appartienne à A_i, que je ne parviens pas à formaliser.

On a 1/N de tirer x, et  \frac{\left\lfloor \frac{N}{a_i} \right\rfloor}{N} d'avoir un multiple de a_i. donc P(A_i) est l'intersection de ces deux événement, donc

P(A_i)=\frac{1}{N} \times \frac{\left\lfloor \frac{N}{a_i} \right\rfloor}{N} ????

Posté par
Theo92re : Expérience aléatoire 21-02-21 à 17:20

oui, en effet, on doit chercher cette limite.
j'ai vraiment besoin de comprendre P(A_i) pour pouvoir continuer.

Posté par
GBZMre : Expérience aléatoire 21-02-21 à 18:08

Dans une urne, tu as N boules. Parmi ces boules, tu en as partie entière de (a_i/N) qui sont peintes en rouges (celles dont le n° est un multiple de a_i). Quelle est la probabilité de tirer une boule rouge (évènement A_i) ?

Posté par
Theo92re : Expérience aléatoire 21-02-21 à 19:05

On doit tirer k=1 entier parmi les m=n_i multiples dans un ensemble contenant N entiers en tirant n=1 entier.
Cela suit une loi hypergéométrique?

On a alors P(A_i)=\frac{ C^k_m \times C^{n-k}_{N-m}}{c^n_N}=\frac{ C^1_{n_i} \times C^{1-1}_{N-n_i}}{c^1_N} ?

Posté par
GBZMre : Expérience aléatoire 21-02-21 à 19:18



Ressaisis-toi ! Tu divagues, là !

S'il y a k boules rouges dans une urne qui en contient N, quelle est la probabilité de tirer une boule rouge ?

Posté par
Theo92re : Expérience aléatoire 21-02-21 à 19:58

Je me recompose.
La proba est  k/N.
donc la proba de tirer un multiple de a_i est partie entière de (N/a_i)/N.
Et c'est tout!!!!
j'ai voulu combiner avec la proba de tirer un x dans N
Alors on a P(A_i)=[partie entière de (N/a_i)]/N?

Posté par
GBZMre : Expérience aléatoire 21-02-21 à 21:10

Si tu n'en es pas convaincu ...

Posté par
Theo92re : Expérience aléatoire 21-02-21 à 21:16

Merci infiniment pour votre infinie patience.
Le dénombrement est un cauchemar pour moi (entre autres....)

Je vous souhaite une bonne soirée.
Je peux (enfin!) poursuivre selon vos autres indications.

Posté par
GBZMre : Expérience aléatoire 21-02-21 à 21:41

Bon travail !


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