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explication calcul de dérivée

Posté par
Magclo01 27-10-07 à 10:47

Bonjour

En cours nous avons calculer une dérivée avec l'aide d'un taux de croissance.
Mais je n'arrive pas à comprendre comment arrivé au résultat, si quelqu'un pouvait m'éclairer.

On a f(x)=3(x)

lim
               =(3(x) - 3x0)/ (x-x0)
x-x0

=(3(x) - 3x0)/((3(x))3 - (3x0)3)

=(3(x) - 3x0)/ (3(x)-3x0)((3(x))3+ 3(x).3(x0)+ (3x0)²)

= 1/ ((3x0)² + 3(x0)

= 1/ 3(3x0)²

Je ne comprend pas les 3 dernière ligne, merci de votre aide

Posté par
lyonnaisre : explication calcul de dérivée 27-10-07 à 11:15

Bonjour

En fait, tu dois savoir que :

4$ \sqrt[3]{x} = x^{\frac{1}{3}}

4$\rm x-x_0 = (x^3)^{\frac{1}{3}}-(x_0^3)^{\frac{1}{3}} = (x^{\frac{1}{3}})^3-(x_0^{\frac{1}{3}})^3

Or tu dois savoir que :

4$\rm a^3-b^3 = (a-b).(a^2+ab+b^2)

Donc ici :

4$\rm x-x_0 = (x^{\frac{1}{3}})^3-(x_0^{\frac{1}{3}})^3 = (x^{\frac{1}{3}}-x_0^{\frac{1}{3}}).[(x^2)^{\frac{1}{3}}+(x_0)^{\frac{1}{3}}.(x)^{\frac{1}{3}}+(x_0^2)^{\frac{1}{3}}]

Ainsi tu as :

5$\rm \frac{x^{\frac{1}{3}}-x_0^{\frac{1}{3}}}{x-x_0} = \frac{x^{\frac{1}{3}}-x_0^{\frac{1}{3}}}{(x^{\frac{1}{3}}-x_0^{\frac{1}{3}}).[(x^2)^{\frac{1}{3}}+(x_0)^{\frac{1}{3}}.(x)^{\frac{1}{3}}+(x_0^2)^{\frac{1}{3}}]} = \frac{1}{(x^2)^{\frac{1}{3}}+(x_0)^{\frac{1}{3}}.(x)^{\frac{1}{3}}+(x_0^2)^{\frac{1}{3}}}

D'où :

5$\rm \lim_{x\to x_0} \frac{x^{\frac{1}{3}}-x_0^{\frac{1}{3}}}{x-x_0} = \frac{1}{(x_0^2)^{\frac{1}{3}}+(x_0)^{\frac{1}{3}}.(x_0)^{\frac{1}{3}}+(x_0^2)^{\frac{1}{3}}} = \frac{1}{3.(x_0^2)^{\frac{1}{3}}} = \frac{1}{3.(x_0^{\frac{1}{3}})^2

N'hésites pas à poser des questions

Romain

Posté par
immerwanoexplication calcul de dérivée 27-10-07 à 12:38

autre niveauprofil de Magclo01posté par : Magclo01
Bonjour
En cours nous avons calculer une dérivée avec l'aide d'un taux de croissance.
Mais je n'arrive pas à comprendre comment arrivé au résultat, si quelqu'un pouvait m'éclairer.
On a f(x)=3(x)
lim
               =(3(x) - 3x0)/ (x-x0)
x-x0
=(3(x) - 3x0)/((3(x))3 - (3x0)3)
=(3(x) - 3x0)/ (3(x)-3x0)((3(x))3+ 3(x).3(x0)+ (3x0)²)
= 1/ ((3x0)² + 3(x0)
= 1/ 3(3x0)²
Je ne comprend pas les 3 dernière ligne, merci de votre aide

Bonjour;

La dérivée d'une fonction en  x0 est par définition :

       f(x_0)^' = \lim_{x\to x_0 } \frac{f(x)- f(x_0)}{x - x_0}.

       si cette limite existe, on dit que la fonction f est dérivable en x_0 .

On utilise cette définition pour voir si la fonction est dérivable ou non  en un point.

Let's go !

   \lim_{x\to x_0 } \frac{f(x)- f(x_0)}{x - x_0}  =   \lim_{x\to x_0 } \frac{\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{x_0}}{x - x_0}
                               =   \lim_{x\to x_0 } \frac{\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{x_0}}{(\sqrt[3]{x})^3 - (\sqrt[3]{x_0})^3}

/**************************************************************************
*          Car x = (\sqrt[n]{x})^n . La magie des maths.
**************************************************************************/
                        
                               = \lim_{x\to x_0 } \frac{\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{x_0}}{(\sqrt[3]{x} - \sqrt[3]{x_0})((\sqrt[3]{x})^2 + \sqrt[3]{x} \sqrt[3]{x_0} +(\sqrt[3]{x_0})^2

/**************************************************************************
* Attention les identités remarquables :

                 a^3 - b^3 =  a^2 + ab + b^2
et en général :

                a^n - b^n   =  \sum_{i=0}^n (a^n-i)(b^i)

****************************************************************************/

Toute la suite, simplifications calculs.

                               = \lim_{x\to x_0 } \frac{1}{((\sqrt[3]{x})^2 + \sqrt[3]{x} \sqrt[3]{x_0} +(\sqrt[3]{x_0})^2

                               = \lim_{x\to x_0 } \frac{1}{((\sqrt[3]{x_0})^2 + \sqrt[3]{x_0} \sqrt[3]{x_0} +(\sqrt[3]{x_0})^2

                               =   \frac{1}{3(\sqrt[3]{x_0})^2 .


J'espère avoir été clair.
Merci.




    

  










Posté par
immerwanoexplication calcul de dérivée 28-10-07 à 18:28



Bonojur,


Vous m'excusez je dois réctifier un truc.


a^n - b^n = ( a - b ) \sum_{i = 0 }^^{n-1} a^{(n-i)} b^{i}

Posté par
gui_toure : explication calcul de dérivée 30-10-07 à 15:10

Joliii Lyonnais


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