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Explication pour montrer une convergence

Posté par
hbx360 02-06-25 à 11:12

Bonjour, j'ai une exercice ou je dois montrer que la suite converge vers 2. Je ne comprend pas certaine chose dans la correction.
Je vous donne l'ensemble de l'énoncé et la correction de ce qui me pose problème :

Etudier la suite (Un) définie par la donnée de U_{0} = -\frac{3}{4} et la relation de récurrence U_{n+1} = \sqrt{2+U_{n}}
Je passe sur :
- La construction graphique,
- La suite est bien définie,
- Monotonie,
- Convergence
- Et la dernière celle qui m'intéresse : Montrons que ( U_{n}) converge vers 2 :

Soit n \in \mathbb{N}, on a :

0 \leq 2- U_{n+1} = 2-\sqrt{2+U_{n}}=\frac{4-(2+U_{n})}{2+\sqrt{2+U_{n}}}=\frac{2-U_{n}}{2+\sqrt{2+U_{n}}} \leq \frac{1}{2}|2-U_{n}|

Ainsi pour tout entier n \in \mathbb{N}, |U_{n+1}-2| \leq \frac{1}{2}|U_{n}-2| .

Une récurrence permet alors d'en déduire que

\forall x \in \mathbb{N},  |U_{n}-2| \leq \frac{1}{2^{n}}|U_{0}-2| \xrightarrow[n\to \infty ]{} 0 \

Finalement, on en déduit que \lim_{n\rightarrow {+\infty }} U_{n} = 2

Ce que je ne comprend pas déjà dans la correction  dans l'expression suivante :

0 \leq 2- U_{n+1} = 2-\sqrt{2+U_{n}}=\frac{4-(2+U_{n})}{2+\sqrt{2+U_{n}}}=\frac{2-U_{n}}{2+\sqrt{2+U_{n}}} \leq \frac{1}{2}|2-U_{n}|

Le égale après 0 \leq 2- U_{n+1} et à la fin avec  le inférieur égale avant \frac{1}{2}|2-U_{n}|

Est-ce que ça veut dire 0 \leq 2- U_{n+1} \leq \frac{1}{2}|2-U_{n}| et on développe le  2- U_{n+1}

Et comment à été trouvé \frac{1}{2}|2-U_{n}| à la fin de l'expression ?

Idem pour |U_{n+1}-2| dans l'expression |U_{n+1}-2| \leq \frac{1}{2}|U_{n}-2| .

Merci d'avance

Posté par
malou Webmasterre : Explication pour montrer une convergence 02-06-25 à 13:15

Bonjour

On a multiplié haut et bas par 2+\sqrt{2+Un} qui est la quantité conjuguée de 2-\sqrt{2+Un} puis on a simplifié le numérateur

OK ? ça va mieux ?

Posté par
candide2re : Explication pour montrer une convergence 02-06-25 à 13:41

Bonjour,

Tu écris :
"Je passe sur :
- La construction graphique,
- La suite est bien définie,
- Monotonie,
- Convergence "

Ce qui laisse supposer que cela a été fait ... donc on sait que la suite converge, on a alors en appelant L la valeur vers laquelle la suite converge :

lim(n-->oo) Un = lim(n--> oo) U(n+1) = L

L = sqrt(2 + L)
L² = 2 + L
L² - L + 2 = 0

L = (1 +/- sqrt(1+8))/2 = (1 +/- 3)/2

L = -1 ou L = 2
et comme on montre facilement que tous les termes de la suite sont positif ... L = 2

Posté par
candide2re : Explication pour montrer une convergence 02-06-25 à 13:49

A la fin de mon message précédent, lire :

... et comme on montre facilement que tous les termes de la suite, à partir de U1, sont positifs ... L = 2

Posté par
hbx360re : Explication pour montrer une convergence 02-06-25 à 16:37

@malou, ça j'avais compris,

Mais est-ce que ceci est exacte si on ne développe pas :

0 \leq 2- U_{n+1} \leq \frac{1}{2}|2-U_{n}|

Et comme je le disais d'où vient le :

\frac{1}{2}|2-U_{n}|

Posté par
Kohlere : Explication pour montrer une convergence 02-06-25 à 18:40

Bonjour,
La bonne question est plutôt "d'où vient le \dfrac{1}{2} ?"

Citation :
0 \leq 2- U_{n+1} = 2-\sqrt{2+U_{n}}=\frac{4-(2+U_{n})}{2+\sqrt{2+U_{n}}}=\frac{2-U_{n}}{2+\sqrt{2+U_{n}}} \leq \frac{1}{2}|2-U_{n}|

On a bien 2+\sqrt{2+u_n}\geq 2 en sorte que \dfrac{1}{2+\sqrt{2+u_n}}\leq \dfrac{1}{2}
Non ?

Posté par
hbx360re : Explication pour montrer une convergence 02-06-25 à 19:14

Ha d'accord je comprend mieux.

Je vais regardé tous ça.

Merci à tous pour vos réponses.

Posté par
hbx360re : Explication pour montrer une convergence 03-06-25 à 14:05

En fait ce que je n'arrive pas à comprendre c'est cette expression

0 \leq 2- U_{n+1} = 2-\sqrt{2+U_{n}}=\frac{4-(2+U_{n})}{2+\sqrt{2+U_{n}}}=\frac{2-U_{n}}{2+\sqrt{2+U_{n}}} \leq \frac{1}{2}|2-U_{n}|

Comme je l'ai mentionné ci-dessus :

Mais est-ce que ceci est exacte si on ne développe pas :

0 \leq 2- U_{n+1} \leq \frac{1}{2}|2-U_{n}|

Et comme je le disais d'où vient le :

\frac{1}{2}|2-U_{n}|

Vous répondez mais par bribe, merci de répondre à mes questions car sa m'aiderai à comprendre.

Posté par
heklare : Explication pour montrer une convergence 03-06-25 à 14:53

Bonjour
En attendant le retour des autres intervenants

on a

\dfrac{2-U_{n}}{2+\sqrt{2+U_{n}}}=\dfrac{1}{2+\sqrt{2+U_{n}}}\times (2-U_n)

à 18 :40 Kohle a montré que 2+\sqrt{2+U_{n}}\geqslant 2
donc \dfrac{1}{2+\sqrt{2+U_{n}}}\leqslant \dfrac{1}{2}

Posté par
hbx360re : Explication pour montrer une convergence 03-06-25 à 18:08

Merci pour la réponse, mais vous ne répondez pas à mes questionnements, je n'arrive pas à comprendre.

Je remet une des questions :

Et comme je le disais d'où vient le :

\frac{1}{2}|2-U_{n}|

Posté par
heklare : Explication pour montrer une convergence 03-06-25 à 18:33

On part de

\vert 2-U_{n+1}\vert

on transforme en utilisant la quantité conjuguée pour aboutir à

\dfrac{\vert 2-U_{n}\vert}{2+\sqrt{2+U_{n}}}

comme on sait que \dfrac{ab}{c}=a\times \dfrac{b}{c} et \left\vert \dfrac{a}{b}\right\vert = \dfrac{\vert  a\vert}{\vert  b\vert}

on peut donc écrire

\dfrac{\vert 2-U_{n}\vert}{2+\sqrt{2+U_{n}}}= \dfrac{1}{2+\sqrt{2+U_{n}}}\times \vert 2-U_n \vert

Il est manifeste que 2+\sqrt{2+U_n}\geqslant 2 on ajoute un nombre positif à 2.

En passant à l'inverse, on a donc  \dfrac{1}{2+\sqrt{2+U_{n}}}\leqslant \dfrac{1}{2}

En multipliant les deux membres de cette inégalité par \vert 2-U_n\vert on a

\dfrac{\vert 2-U_n \vert}{2+\sqrt{2+U_{n}}}\leqslant \dfrac{1}{2}\vert 2-U_n  \vert

Posté par
heklare : Explication pour montrer une convergence 03-06-25 à 18:37

on a bien montré que \vert 2-U_{n+1}\vert \leqslant \dfrac{1}{2}\vert 2-U_n}\vert

Posté par
hbx360re : Explication pour montrer une convergence 03-06-25 à 18:50

Merci pour tes explications mais d'où sort la  valeur absolue de 2-U_{n+1} ?

Parce que moi sur mon énoncé, on part de 0 \leq 2- U_{n+1} et non de 0 \leq \vert2- U_{n+1}\vert

Posté par
heklare : Explication pour montrer une convergence 03-06-25 à 19:00

Comme 2-U_{n+1}\geqslant 0  on a

2-U_{n+1}=\vert 2-U_{n+1}\vert

Posté par
hbx360re : Explication pour montrer une convergence 03-06-25 à 20:01

Merci pour ta réponse

Posté par
hbx360re : Explication pour montrer une convergence 03-06-25 à 20:18

Je savais pas qu'on avait le droit de mettre des valeurs absolue comme ça.

Posté par
hbx360re : Explication pour montrer une convergence 04-06-25 à 11:47

Et quel est l'intérêt de mettre en valeur absolue ? je comprend pas, je vois pas où il veux en venir.

Posté par
heklare : Explication pour montrer une convergence 04-06-25 à 12:20

Bonjour

Ici, aucun sauf à garder une certaine cohérence. Il y a une différence pour les séries entre la convergence et la convergence absolue

Posté par
hbx360re : Explication pour montrer une convergence 05-06-25 à 11:00

D'accord,

Et est-ce que ça c'est exact 0 \leq 2- U_{n+1} \leq \frac{1}{2}|2-U_{n}|

Posté par
heklare : Explication pour montrer une convergence 05-06-25 à 11:16

Si A\geqslant 0 ,\quad \vert A\vert =A

Cela ne change rien d'écrire \vert 2-U_{n+1}\vert au lieu de 2-U_{n+1}

Posté par
hbx360re : Explication pour montrer une convergence 05-06-25 à 13:55

D'accord, mais on est bien d'accord que pour pouvoir montrer que U_{n} converge vers 2 on doit partir de cette double inéquation 0 \leq 2- U_{n+1} \leq \frac{1}{2}|2-U_{n}|
Ce qui permet après développement de trouver \vert 2-U_{n+1}\vert \leqslant \dfrac{1}{2}\vert 2-U_n}\vert

Ou bien est-ce que l'on doit partir de U_{n+1} \leq 2   pour arrivé à \vert 2-U_{n+1}\vert \leqslant \dfrac{1}{2}\vert 2-U_n}\vert

Posté par
hbx360re : Explication pour montrer une convergence 06-06-25 à 13:14

Je vous remercie pour vos réponses, pour compléter ma compréhension, je vais demander de l'aide sur d'autre site peut-être que cela éclairera un peu plus ma lanterne.

Posté par
heklare : Explication pour montrer une convergence 06-06-25 à 13:58

Bonjour
Qu'avez-vous comme définition de la limite d'une suite ?

Posté par
hbx360re : Explication pour montrer une convergence 06-06-25 à 14:54

Merci @hekla pour ton aide, mais j'aimerai vraiment qu'on réponde aux questions que je pose, car sa m'aiderai énormément pour comprendre, je remets les questions posés ci-dessus :

hbx360 @ 05-06-2025 à 13:55

On est bien d'accord que pour pouvoir montrer que U_{n} converge vers 2 on doit partir de cette double inéquation 0 \leq 2- U_{n+1} \leq \frac{1}{2}|2-U_{n}|
Ce qui permet après développement de trouver \vert 2-U_{n+1}\vert \leqslant \dfrac{1}{2}\vert 2-U_n}\vert

Ou bien est-ce que l'on doit partir de U_{n+1} \leq 2   pour arrivé à \vert 2-U_{n+1}\vert \leqslant \dfrac{1}{2}\vert 2-U_n}\vert


De ce que j'ai vue sur internet (voir ce lien par exemple  https://www.youtube.com/watch?v=Vog18Pny8Sg ) ;  on doit passé de  0 \leq U_{n} \leq 3 à 0 \leq U_{n+1} \leq 3

Donc c'est ce que j'ai essayé de faire en partant 0 \leq U_{n} \leq 2 pour arriver au résultat final qui est \vert 2-U_{n+1}\vert \leqslant \dfrac{1}{2}\vert 2-U_n}\vert

Mais ça ne fonctionne pas, je n'y arrive pas.

Je n'arrive pas à comprendre quel est la base de départ on part de quoi pour arrivé au résultat, car sur mon livre il met pas tout l'auteur.

Est-ce que l'on part de cette inéquation :
0 \leq 2- U_{n+1} \leq \frac{1}{2}|2-U_{n}|

ou bien de celle-ci :
U_{n+1} \leq 2  

Je rappel aussi que je suis en reprise d'étude donc désolé si vous pensez que mes questions sont un peu stupide ou digne d'un débutant mais j'ai pas mal de lacune en math et j'aimerai vraiment réussir à monté de niveau.

Posté par
heklare : Explication pour montrer une convergence 06-06-25 à 16:36

On dit qu'une suite (u_n) tend vers \ell si pour tout nombre réel positif
\varepsilon, il existe un entier N  tel que

n\geqslant N \Rightarrow \vert u_n-\ell\vert \leqslant \epsilon

On veut montrer que (u_n) tend vers 2.

On part de  \vert u_n-2\vert on va alors montrer qu'à partir d'un certain rang, on peut rendre cette expression aussi petite que l'on veut.

\vert u_n-2 \vert = \vert 2-u_n \vert Partir de n ou de n+1 ne change rien à la démonstration.

On a montré que  \vert 2-u_{n+1}\vert \leqslant \frac{1}{2}\vert2-u_n\vert

dans l'autre cas, on aurait eu \vert 2-u_{n}\vert \leqslant \frac{1}{2}\vert 2-u_{n-1}\vert

par récurrence, on montre que

\vert 2-u_{n+1}\vert \leqslant \frac{1}{2^n}\vert 2-u_0\vert

On sait que  pour tout \epsilon >0  il existe N  tel que n \geqslant N \Rightarrow\vert \frac{1}{2^n}\vert \leqslant \epsilon

donc pour tout \epsilon >0  il existe N'  tel que n \geqslant N ' \Rightarrow\vert  2-u_{n+1}\vert \leqslant \epsilon

N' \not= N   car on a multiplié par \vert 2-u_0 \vert

la valeur précise ne nous intéresse pas seulement son existence pour tout réel positif

* Modération >  Message édité pour écrire "varepsilon" au premier epsilon *

Posté par
hbx360re : Explication pour montrer une convergence 06-06-25 à 17:46

D'accord merci pour ton aide, je comprends un peu mieux je vais potasser tout ça !

Posté par
hbx360re : Explication pour montrer une convergence 07-06-25 à 19:01

Bonjour hekla,

En relisant ce que tu as été mis  j'ai compris qu'on partais de la formule n\geqslant N \Rightarrow \vert u_n-\ell\vert \leqslant {\epsilon }

Donc perso j'ai décidé de remplace U_{n} par U_{n+1} et \ell par 2 et {\epsilon } par 2, je me retrouve donc avec l'expression suivante :

\vert u_{n+1}-2\vert \leqslant 2 et ensuite je développe :

-2 \leq U_{n+1}\leq 2

0 \leq 2+ U_{n+1}\leq  2

0 \leq 2+ \sqrt{2+U_{n}}\leq 2

0 \leq \frac{1}{2+ \sqrt{2+U_{n}}}\leq \frac{1}{2}

Et on multiplie par |2-U_{n}| ce qui donne :

0 \leq \frac{|2-U_{n}|}{2+ \sqrt{2+U_{n}}}\leq \frac{1}{2}|2-U_{n}|

Après c'est là que je bug un peu je n'arrive pas à comprendre comment on passe de 0 \leq \frac{|2-U_{n}|}{2+ \sqrt{2+U_{n}}}\leq \frac{1}{2}|2-U_{n}| à \vert 2-u_{n+1}\vert \leqslant \frac{1}{2}\vert2-u_n\vert ?

Comment transforme t-on \frac{|2-U_{n}|}{2+ \sqrt{2+U_{n}}} en \vert 2-u_{n+1}\vert ?

Et est-ce que hekla tu peut me dire ou bien quelqu'un d'autre si la démarche que j'ai suivie pour arrivé jusque là (i.e  0 \leq \frac{|2-U_{n}|}{2+ \sqrt{2+U_{n}}}\leq \frac{1}{2}|2-U_{n}| ) est la bonne, mais ce n'est pas la même démarche que dans le livre donc je ne sais pas si c'est bon.

Posté par
heklare : Explication pour montrer une convergence 07-06-25 à 19:58

On ne part pas de cela, c'est la définition d'une limite

On part de |u_{n+1}-2| et on veut montrer que cette différence peut être rendue aussi petite que l'on veut, certainement pas 2.

|u_{n+1}-2|=|2-u_{n+1}|= \dfrac{1}{2+\sqrt{2+u_n}}|2-u_n|

\dfrac{1}{2+\sqrt{2+u_n}} est majoré par \dfrac{1}{2}

ce qui permet d'écrire |2-u_{n+1}|\leqslant \dfrac{1}{2}|2-u_n|

On a   2+\sqrt{2+u_n}\geqslant 2   puisqu'à 2 on ajoute un terme positif

maintenant si l'on passe aux inverses, on a alors \dfrac{1}{2+\sqrt{2+u_n}}\leqslant \dfrac{1}{2}.

  La fonction inverse est strictement décroissante sur ]0~;~+\infty[.

et  par suite \dfrac{|2-u_n|}{2+\sqrt{2+u_n}}\leqslant \dfrac{1}{2}|2-u_n|.

Citation :
Comment transforme-t-on \frac{|2-U_{n}|}{2+ \sqrt{2+U_{n}}} en \vert 2-u_{n+1}\vert ?


En utilisant la quantité conjuguée, c'est plutôt le contraire c'est  2-u_{n+1} que l'on transforme.

Posté par
hbx360re : Explication pour montrer une convergence 08-06-25 à 10:26

Désolé mais j'ai bien essayé de comprendre helka mais ce que tu mets y a rien pour moi de cohérent, des trucs placé ici et là sans réel lien entre les inéquations. Donc je vais arrêté là sauf si quelqu'un d'autre peu m'expliquer de façon plus compréhensible cette ligne qui me pose vraiment problème :

0 \leq 2- U_{n+1} = 2-\sqrt{2+U_{n}}=\frac{4-(2+U_{n})}{2+\sqrt{2+U_{n}}}=\frac{2-U_{n}}{2+\sqrt{2+U_{n}}} \leq \frac{1}{2}|2-U_{n}|

D'où sa sort, comment en est-on arrivé là.

En tout cas merci pour ton investissement helka pour avoir essayé  de m'aider à comprendre, je vais encore potasser les suites peut-être que j'arriverai à comprendre cette foutu ligne, mais je pense aussi que le livre de Nicolas Nguyen MATHS de la terminale S à la prépa scientifique est pour moi mal foutu et il sape beaucoup d'étape qui rende difficile la lecture et la compréhension des notions abordé comme cette fameuse expression que j'ai mis ci-dessus.

Si quelqu'un connais se livre, qu'est-ce que vous en pensez.

Posté par
heklare : Explication pour montrer une convergence 08-06-25 à 11:02

Bonjour
malou a écrit

Citation :
On a multiplié haut et bas par 2+\sqrt{2+Un} qui est la quantité conjuguée de 2-\sqrt{2+Un} puis on a simplifié le numérateur


vous avez répondu

Citation :
@malou, ça j'avais compris,


Détail du calcul

2-u_{n+1}=2-\sqrt{2+u_n}=2-\sqrt{2+u_n}\times \left(\dfrac{2+\sqrt{2+u_n}}{2+\sqrt{2+u_n}}\right)

=\dfrac{(2-\sqrt{2+u_n})(2+\sqrt{2+u_n})}{2+\sqrt{2+u_n}}=\dfrac{4-(\sqrt{2+u_n})^2}{2+\sqrt{2+u_n}}=\dfrac{4-(2+u_n)}{2+\sqrt{2+u_n}}


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