1)
Pas clair
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2)
f '(t)=a.e^(-t) - f(t)

f '(t) + f(t) = a.e^(-t)
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Solutions de f '(t) + f(t) = 0
f(t) = A.e^(-t)
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Solution particulière de f '(t) + f(t) = a.e^(-t)

f(t) = Bt.e^(-t)
f '(t) = B.e^(-t) - Bt.e^(-t)
f(t)+f'(t) = B.e^(-t)
A identifier avec f '(t) + f(t) = a.e^(-t) --> B = a

Donc , une solution particulière de f '(t) + f(t) = a.e^(-t) est f(t) = a.t.e^(-t)
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Solutions générales de f '(t) + f(t) = a.e^(-t):

f(t) = A.e^(-t) + a.t.e^(-t)
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Comme f(0) = 0 ->
0 = A + 0
A = 0

Et donc, finalement:
f(t) = a.t.e^(-t)
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3)
a et b)

Avec a = 5, on a:
f(t) = 5.t.e^(-t)

f '(t) = 5.e^(-t) - 5t.(e^-t)
f '(t) = 5.e^(-t).(1-t)

5.e^(-t) est > 0 quel que soit t et donc f '(t) a le signe de (t-1)

f '(t) > 0 pour t dans [0 ; 1[ -> f(t) est croissante.
f '(t) = 0 pour t = 1
f '(t) < 0 pour t dans ]1 ; oo[ -> f(t) est décroissante.

f(t) a donc un maximum pour t = 1.
Ce max vaut f(1) = 5*1*e^(-1) = 5/e

Le taux d'alcoolémie max est atteint après 1 heure, ce taux max est de 5/e = 1,84 g/l de sang.
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c)
Soit T le temps pour que f(t) redescende à 0,5 g/L de sang.

Sur le graphique, on lit : T = 3,6 heures environ.
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Sauf distraction.