Je suppose que tu dois montrer que:
0  <= x - (x+1).e^(-1/x) <= 1/(2x)
MAIS UNIQUEMENT POUR x > 0

Si c'est bien le cas, alors:

Avec u >= 0
0 <= 1-(1+u)e^(-u)<= u²/2

En posant u = 1/x
Si x > 0, on a u > 0 et donc:

0 <= 1-(1+(1/x))e^(-1/x)) <= (1/x)²/2
0 <= 1- ((x+1)/x)e^(-1/x)) <= (1/x)²/2
Comme x > 0, on peut multiplier les membres des inéquations par x sans changer le sens des inéquations.
->
0 * x <= x*[1- ((x+1)/x)e^(-1/x))] <= x*[(1/x)²/2]

0  <= x - (x+1).e^(-1/x) <= 1/(2x)
-----
Sauf distraction.  

on a f(x)=(x+1)e^(-1/x)
f'(x) est bien égal à e^(-1/x)/x² ??

f '(x) = [(x²+x+1)/x²].e^(-1/x)

pourriez vous, s'il vous plait, me donner les détails pr le calcul de cette dérivé car je ne vois pas!! (dsl)
merci

salut
f(x)=(x+1)e^(-1/x)
on va y aller pas a pas.
u(x)=x+1
v(x)=e^(-1/x)

u'(x)=1
v'(x)=(1/(x^2))*e^(-1/x)
car v est de la forme v(x)=e^(a(x)) donc v'(x)=(a'(x))*e^(a(x))
ici a(x)=-1/x donc a'(x)=1/(x^2)
donc v'(x)=(1/(x^2))*e^(-1/x)

f(x)=u(x)*v(x)
donc f'(x)=u'(x)*v(x)+u(x)*v'(x)
donc f'(x)=1*e^(-1/x)+(x+1)*(1/(x^2))*e^(-1/x)

on factorise e^(-1/x)
f'(x)=[e^(-1/x)]*[1+(x+1)/(x^2)]
on met au meme denominateur dans le second facteur :
f'(x)=[e^(-1/x)]*(x^2+x+1)/(x^2)

voila c'est le resultat de J-P.

a+.

je suis obligé de refaire tout mon DM because beaucoup d'erreur ds les dérivés...!
1-(1+x)e^(-x) est bien égal à xe^(-x) ??
me trompe-je encore  ??!

-xe^(-x)

Ta questtion: 1-(1+x)e^(-x) est bien égal à xe^(-x) ??

Ma réponse: NON !