f(x) = x + e^(-x) - 1
f '(x) = 1 - e^(-x)
f ''(x) = e^(-x)
f ''(x) > 0 pour tout x -> f '(x) est strictement croissante.

f '(x) = 0 pour e^-x = 1, soit pour x = 0.

On a donc:
f '(x) < 0 pour pour x dans ]-oo ; 0[ -> f(x) est décroissante.
f '(x) = 0 pour x = 0
f '(x) > 0 pour pour x dans ]0 ; oo[ -> f(x) est croissante.

Il y a un minimum de f(x) en x =0 , ce min vaut f(0) = 0 + 1 - 1 = 0

On a donc f(x) >= 0 sur R.

x + e^(-x) - 1 >= 0 sur R

x + e^(-x) >= 1 sur R.
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Sauf distraction.  

f(x)=x+e(-x)
f'(x)=1-e(-x)

f'(x)=0=1-e(-x)

e(-x)=1
ou -x=ln1=0 donc x=0
donc on a un extremum en 0

signe de f'(x) pour x<0

f'(x)=1-e(-x)
si x<0  -x>0 et donc e(-x)>1
donc f'(x)<0

de même  on a f'(x)>0 pour x>0

donc f(x) est minimum en 0
f(0)= 0+e(0)=1

donc f(x)>ou egale à 1

Excellent et très clair JP, c'était pourtant évident, merci² !
merci aussi à raulic