exp  x [(x-1)/(x+1)] = 1

ln (exp x [(x-1)/(x+1)]) = ln 1 = 0

x [(x-1)/(x+1)] = 0

soit x = 0
ou x-1=0 <=> x=1

ps-sauf erreur de ma part ...

@+
Boris

euhhh....en remplacant x par 1 dans mon equation cela ne colle pas... donc x ne vaut pas 1!

salut
quelle est l'equation ?


exp {x*[(x-1)/(x+1)]} = 1 comme le suppose Bobo91 ?

ou [exp(x)] * [(x-1)/(x+1)] = 1 ?

ou encore autre chose ?

c'est la deuxieme...

Attention bobo91:

pour que ln (exp x [(x-1)/(x+1)]) il faut que exp x [(x-1)/(x+1)]>0 pour tout x ,ce qui n'estpas le cas ici!

pour la résolution, je réfléchis ...

c'est vrai que l'ecriture de mon equation pouvait creer une certaine confusion...desolé!

je precise que l'on me dis que f(x)=(exp x) * [(x-1)/(x+1)] sera etudier sur [0; +infini)

Autre info on me dis que:

f(x)=1  ssi exp(-x)=(x-1)/(x+1)

[exp(x)] * [(x-1)/(x+1)] = 1


on arrive a (x-1)*exp(x)-x-1=0

etude de f definie sur R par f(x)=(x-1)*exp(x)-x-1

on etudie f et f' (donc il faudra calculer f''...)
tableau de variations,dichotomie

et ainsi on arrive au fait qu'il existe deux solutions dans R qui a1 et a2.
valeurs approchees :

a1=-1,54 a2=1,54 a 10^-2 pres.

remarque on pourra demontrer que a1 et a2 sont opposees...

j'avais pas vu l'indication.

f(x)=(exp x) * [(x-1)/(x+1)]

f'(x)=(exp x)* [2/(x+1)² +(x-1)/(x+1)]

f'(x)=[(exp x)/((x+1)²) ] * [2 +(x -1)*(x+1)]=[(exp x)/((x+1)²) ] * [x²+1]

donc f'(x)>0 pour x dans [0,+oo[
on etudiera la limite en +oo qui est +oo
f(0)=-1

tableau de variation. on arrive au fait qu'il existe une unique solution a1 dans R+ tel que f(a1)=1

ce qui permet de resoudre ton equation de depart sur R+.

pour ton equation de depart, ou cherche t on les solutions ?

dans R ? dans R+ ?

petite question...qu'appeles tu dichotomie?

Dans R+

une fois ton tableau de variation fait, tu peux dire que f est strictement croissante de R+ dans [-1,+oo[
elle definit une bijection de R+ sur [-1,+oo[.

1 est dans [-1,+oo[. donc 1 a un unique antecedent dans R+ par f.

soit a1 cet antecedent.
on a donc f(a1)=1

pour la dichotomie.

on veux approximer a1.

f(2)>1=f(a1) donc a1 est dans [0,2]
f(1)<1=f(a1) donc a1 est dans [1,2]
....

jusqua f(1,54)<1<f(1,55) donc a1 est dans [1,54 , 1,55]

un petit lien pour expliquer la dichotomie

la fin a ete tronquee :

jusqua f(1,54) < 1 < f(1,55) donc a1 est dans [1,54 , 1,55]

un petit lien pour expliquer la dichotomie

MERCI minotaure

Derniere petite question:

On me demande de calculer f(x) * f(-x)  (ou moi je trouve -1)
et l'on me dis d'en deduire avec tous les resultats ci dessus que f(x) amdet deux solutions opposées!

Je ne vois pas comment en deduire a part refaire tout le calcul sur R?

non surtout pas (ce serait dommage de tout refaire)

moi je trouve f(x) * f(-x) = 1 (a verifier...)

ce qui montre que si il existe x tel que f(x)=1 alors f(-x)=1.

on a vu qu'il existe a1 dans R+ tel que f(a1)=1 donc f(-a1)=1
donc -a1 est aussi solution.

a1 et -a1 sont elles les seules solutions dans R ?

(on a vu que la seule solution dans R+ est a1 reste a voir si il n'existe qu'une seule solution dans R- qui serait -a1 )
raisonnement par l'absurde : il existe b different de -a1 dans R- tel que f(b)=1.
d'apres la remarque "si il existe x tel que f(x)=1 alors f(-x)=1."
-b est donc tel que f(-b)=1 avec -b dans R+.
comme il existe une unique solution dans R+ qui est a1 :
-b=a1 donc b=-a1 contrdiction.

donc S={-a1,a1}

MERCI pour cette petite precision de mon erreur....

Bon courage avec les autres qui sont assez nombreux en ce moment:P

Bonne soirée:D