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Exponentielle

Posté par
Tiotere
14-01-16 à 18:12

Bonjour,

Je bloque sur la dernière question de mon exercice dont voici l'énoncé :

A] La fonction g est définie sur l'intervalle [0;+oo[ par :
                       g(x)=ex-x-1

1) Etudier les variations de g. :  J'ai trouvé que g est croissante sur [0;+oo] avec g(0)=0.


2) Déterminer le signe g(x) sur [0;+oo[ : J'ai dis que g est strictement croissante sur [0;+oo[ avec g(0)=0 donc g(x)≥0 pour tout x appartenant à [0;+oo].


3) Déduisez des questions précédentes que :

a) pour tout x de [0;+oo[, ex-x>0 : j'ai dis que g(x)≥0 donc que ex-x≥1 donc que ex-x>0

b) pour tout x de [1/2;1], 1/2≤1/(ex-x)≤9/10.

Je bloque complètement sur la dernière question ( 3)b) ). J'ai essayé plusieurs méthode mais j'avais toujours des problèmes avec les ≤ et ≥.
Auriez-vous des pistes ?
Merci

Posté par
philgr22
re : Exponentielle 14-01-16 à 18:18

Bonsoir,
Utilise la croissance de g(x) sur l'intervalle :ça va tout seul.

Posté par
Glapion Moderateur
re : Exponentielle 14-01-16 à 18:21

tu sais que la fonction g(x) = ex-x-1 est croissante
donc g(1/2) g(x) g(1) pour tout x entre 1/2 et 1
e1/2-1/2 ex-x e-1 1/(e-1) 1/(ex-x) 1/(e1/2-1/2)

mais 1/(e-1) ~ 0.58 et 1/(e1/2-1/2) ~ 0.87
donc on a bien 1/2 0.58 1/(ex-x) 0.87 < 9/10

Posté par
philgr22
re : Exponentielle 14-01-16 à 18:23

Bonsoir Glapion :toujours trop pressé!

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Exponentielle 14-01-16 à 18:25

Bonjour,
Pour 1/2 x 1 on a g(1/2) g(x) g(1)

g(1/2) g(x) g(1) s'écrit g(1/2) ex-x-1 g(1)

D'où 1+ g(1/2) ex-x 1+g(1)

Les trois membres sont strictement positifs et la fonction inverse est décroissante sur ]0;+[ ,
donc 1/(1+g(1)) 1/(ex-x) 1/(1+ g(1/2)) .

Posté par
Tiotere
re : Exponentielle 14-01-16 à 18:29

C'est tout con enfaite j'étais parti super loin..

Merci à vous tous de vos réponses rapides.



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