Bonjour,
Je bloque sur la dernière question de mon exercice dont voici l'énoncé :
A] La fonction g est définie sur l'intervalle [0;+oo[ par :
g(x)=ex-x-1
1) Etudier les variations de g. : J'ai trouvé que g est croissante sur [0;+oo] avec g(0)=0.
2) Déterminer le signe g(x) sur [0;+oo[ : J'ai dis que g est strictement croissante sur [0;+oo[ avec g(0)=0 donc g(x)≥0 pour tout x appartenant à [0;+oo].
3) Déduisez des questions précédentes que :
a) pour tout x de [0;+oo[, ex-x>0 : j'ai dis que g(x)≥0 donc que ex-x≥1 donc que ex-x>0
b) pour tout x de [1/2;1], 1/2≤1/(ex-x)≤9/10.
Je bloque complètement sur la dernière question ( 3)b) ). J'ai essayé plusieurs méthode mais j'avais toujours des problèmes avec les ≤ et ≥.
Auriez-vous des pistes ?
Merci
tu sais que la fonction g(x) = ex-x-1 est croissante
donc g(1/2) g(x) g(1) pour tout x entre 1/2 et 1
e1/2-1/2 ex-x e-1 1/(e-1) 1/(ex-x) 1/(e1/2-1/2)
mais 1/(e-1) ~ 0.58 et 1/(e1/2-1/2) ~ 0.87
donc on a bien 1/2 0.58 1/(ex-x) 0.87 < 9/10
Bonjour,
Pour 1/2 x 1 on a g(1/2) g(x) g(1)
g(1/2) g(x) g(1) s'écrit g(1/2) ex-x-1 g(1)
D'où 1+ g(1/2) ex-x 1+g(1)
Les trois membres sont strictement positifs et la fonction inverse est décroissante sur ]0;+[ ,
donc 1/(1+g(1)) 1/(ex-x) 1/(1+ g(1/2)) .
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