Inscription / Connexion Nouveau Sujet
exponentielle
bonjour
j'ai un exercice sur la fonction exponentielle et je sèche.
f(x) = exp(x) - x - 1
1. déterminer le signe de f
j'ait fait la dérivée et je montre que f est décroissante jusqu'à 0 puis croissante jusqu'à + inf donc f toujours positive
2. en déduire que
exp(1/n) >= 1 + 1/n
et
exp(-1/(n+1))>= 1 - 1/(n+1)
pourriez vous m'aider svp?
je pose x = 1/n
exp(x) - x - 1 >= 0 devient
exp(1/n) - 1/n - 1 >= 0
d'où exp(1/n) >= 1 + 1/n
c'est ça? c'est tout ce qu'il faut dire?
bah oui puisque dans la question précédente tu as prouvé que f(x) est positif quelle que soit la valeur de x
et notamment pour x=1/n
re bonjour
mon exercice n'est pas termine.
j'ai ensuite montré de la même façon que
exp(-1/(n+1)>=1-1/(n+1) en posant x = -1/(n+1)
question suivantes :
3. montrer que (1+1/n)^n <=e
j'ai fait
exp(1/n) >= 1 + 1/n
donc (exp(1/n))^n >= (1 + 1/n)^n
donc (1+1/n)^n <=e
4. montrer que e <= (1+1/n)^(n+1)
j'ai fait
on sait que exp(-1/(n+1)>=1-1/(n+1)
donc j'ai mis tout puissance (n+1)
e^(-1) >= (1 - 1/(n+1))^(n+1)
et là je bloque
pourriez-vous m'aider svp?
exp(-1/(n+1)>=1-(1/n+1)
donc 1/(exp(-1/(n+1))<=1/(1-(1/n+1))
donc exp(1/(n+1))<=1/(1-(1/n+1))
la fonction puissance est croissante donc
(exp(1/(n+1))^(n+1)<=1/(1-(1/n+1))^(n+1)
donc exp^1 <=1/(1-(1/n+1))^(n+1)
donc e <=1/(1-(1/n+1))^(n+1)
et là je bloque
e <=1/(1-(1/n+1))^(n+1)
<-> e <= 1/(n/(n+1))^(n+1)
<-> e <= ((n+1)/n)^(n+1)
<-> e <= (1+1/n)^(n+1)
merci pour votre aide. il me reste une question, j'espère y arriver sans vous déranger 
encore moi...dernière question.
4. déduire de ce qui précède un encadrement de (1+1/n)^n puis sa limite en +infini
j'ai montré que (1 + 1/n)^n <= e ok pour borne sup et limite en +infini vaut e
de plus j'ai montré que e<= (1 + 1/n) ^(n+1)
<-> e<= (1 + 1/n) * (1 + 1/n) ^n
ca ne me dit pas grand chose sur la borne inférieure
de plus j'ai montré que e<= (1 + 1/n) ^(n+1) <=> e<= (1 + 1/n) * (1 + 1/n) ^n
et quelle est la limite de 1 + 1/n ? donc de son inverse ?
e<= (1 + 1/n) * (1 + 1/n) ^n
<=> e / ( 1 + 1/n )<= (1 + 1/n) ^n
<=> e * ( n / (n+1) ) <= (1 + 1/n) ^n
je peux dire que e * ( n / (n+1) ) est la borne inférieure?
Annuler
connectez vous