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exponentielle

Posté par
bergamot 10-10-17 à 08:34

Bonjour,
J'ai un dm pour la semaine prochaine mais je suis bloquée ;
soit la suite en définie par en = SOMME 1/k!
1) montrez que en est croissante
2) démontrer que pour tout entier naturel k :
1/k! <= 1/2k-1
3) soit n un entier naturel. calculer SOMME 1/2k-1
4) en déduire que la suite est majorée
5)que peut-on en déduire pour la convergence de en? on note e la limite de la suite en.


j'ai déja fait la question 1) : en-1-en=1/(n+1)! donc la suite est croissante
je suis bloqué à partir de la question 2, j'ai essayé un résonnement par récurrence mais je n'y arrive pas.
pourriez-vous m'aider s'il vous plait?

Posté par
ThierryPomare : exponentielle 10-10-17 à 08:48

Remarquons que, pour tout entier k,

\dfrac{1}{k!}\leqslant\dfrac{1}{2^{k-1}}\Leftrightarrow2^{k-1}\leqslant{k!}

L'on a clairement 2^{0-1}=\dfrac{1}{2}\leqslant{0!}=1, ainsi que 2^{1-1}=1\leqslant{1!}=1, de sorte que la propriété est acquise pour k\in\{0,\,1\}. Supposons que pour k\geqslant1 l'on ait 2^{k-1}\leqslant{k!}. Alors,

(k+1)!=k!\times(k+1)\geqslant2^{k-1}\times(k+1)\geqslant2^k

vu que k+1\geqslant2.

Posté par
bergamotre : exponentielle 10-10-17 à 09:05

merci beaucoup de votre réponse mais je ne comprends pas ce qui suit votre "alors"...

Posté par
PLSVUre : exponentielle 10-10-17 à 09:10

Bonjour,
Une factorielle  (n!) n'est pas un exponentielle en (voir titre)
3!=1*2*3
4!=1*2*3*4=3!*4

Posté par
bergamotre : exponentielle 10-10-17 à 09:13

ah oui c'est vrai pardon. Du coup mon résonnement par récurrence ne fonctionne pas?

Posté par
Panter Correcteurre : exponentielle 10-10-17 à 11:28

Bonjour,

ThierryPoma t'a justement montré comment procéder pour raisonner par récurrence, relis ce qu'il t'a écrit...

L'initialisation k=0 :

Citation :
"L'on a clairement 2^{0-1}=\dfrac{1}{2}\leqslant{0!}=1"


L'hérédité:
Citation :
"Supposons que pour k\geqslant1 l'on ait 2^{k-1}\leqslant{k!}".
Il faut donc montrer que 2^{k}\leqslant{(k+1)!}
Indication:
"(k+1)!=k!\times(k+1)\geqslant2^{k-1}\times(k+1)\geqslant2^k
vu que k+1\geqslant2".

Posté par
bergamotre : exponentielle 10-10-17 à 18:08

Ahhhh oui D'accord,  j'ai compris, merci beaucoup, du coup pour la question 3, il faut se servir de ce que l'on vient de démontrer ?


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