1) As-tu calculé la dérivée de la fonction fk ?

Je n'y arrive pas, je bloque à ce niveau.

(uv)' = u'v + uv'

(e^u)' = u'e^u .

La dérivée d'une constante est nulle.

Hum... fk'(x) = e^x+k+xe^k+ke

Les dérivés me posent d'énorme soucis en mathématiques

non c'est pas ça la dérivée
ke^k est une constante donc la dérivée est nulle
xe^x+k est un produit uv, Priam t'a dit que la dérivée était u'v+v'u
la dérivée de x est 1 et la dérivée de e^x+k est e^x+k

donc ça donne e^x+k+xe^x+k = (x+1)e^x+k

Merci, pour trouver le minimum.

fk'(x)> 0  
(x+1)e^x+k>0
e^x+k>0
x+k> Ln 0
x>k-Ln 0

Donc la fonction admet un minimum en k-Ln 0

Est-ce correct ?

Ln 0 n'est pas défini (le log tend vers -)

e^x+k > 0 est toujours vrai (une exponentielle est toujours positive)

Pour trouver le minimum il faut trouver les valeurs qui annulent la dérivée.
c'est facile, l'exponentielle ne s'annule jamais donc f_k'(x) = 0 revient à résoudre x + 1 = 0 donc il y a un extremum pour x = -1
reste à montrer que c'est un minimum en montrant que la dérivée est négative avant -1 et positive après

Comment montrer que la dérivée est négative avant -1 ?

pas bien difficile, la dérivée a le signe de x+1 qui est bien négatif avant -1 et positif après
(une fonction affine croissante est forcement de signe - puis +)

A partir de ça, ça montre que -1 est le minimum ?

Pour la question 2, faut remplacer le minimum dans fk, on obtient une nouvelle fonction, on la dérive ?

Ce minimum est
fk(-1)=-1*e^-1+k+ke^k
fk(-1)= -e^-1+k+ke^k
fk(-1)= -e^-1*e^k+ ke^k
fk(-1)=e*e^k+ke^k

c'est bon jusqu'à fk(-1)= -e^-1*e^k+ ke^k
mais après je ne comprends pas, -e^-1 ça fait pas e

il suffit maintenant de mettre e^k en facteur
= (k-1/e)e^k et d'étudier cette fonction