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Exponentielle
Bonjour,
J'ai un devoir maison de mathématiques à rendre pour la semaine prochaine. Je suis complètement bloquée sur une question sur laquelle j'y ai passé il me semble 2-3 jours.
On considère la fonction définie sur R par :
f(x)= exp(x) - x - 1
a) Etudier les variations de f
f'(x) = exp(x) - 1
Quand x > 0, exp(x) > 1 donc exp(x)-1 >0, donc f'(x) >0
Quand x < 0, 0 < exp(x) < 1
-1 < exp(x) - 1 < 0
-1 < f'(x) < 0
f'(x) < 0
Donc f est croissante lorsque x >0 et f est décroissant lorsque x <0.
On a f(0) = 0, donc 0 minimum de f sur R.
b) En déduire que pour tout x e R on a : 1+x <= exp(x).
On a 0 minimum de f sur R, donc f(x) => 0,
exp(x) - x - 1 =>0
exp(x) => x+1
c) En déduire que pour tout x e ]0;1[ on a : exp(x) < 1/(1-x)
Je beugue sur cette question ! J'ai tout essayé je n'y arrive pas...
2)a) Déduire des questions précédentes que, pour tout n e N*,
(1+1/n)^n < e < (1+1/n)^n+1
b) En déduire un encadrement de Un
c) En déduire lim Un
n--> infini
Merci encore à vous -
Bonnes fêtes
Bonjour
c) En déduire que pour tout x e ]0;1[ on a : exp(x) < 1/(1-x)
Applique ce qui précède avec -x à la place de x.
Non non.
Réfléchis ! La question (enfin, l'injonction) commence par "En déduire". Donc il faut se servir de la question précédente, à savoir la b. Donc maintenant question à se poser : comment faire le lien entre la b et la c ? Regarde bien les sens des inégalités, les similitudes, les différences. Et trouve ce qu'il faut faire en réfléchissant un peu. [Ceci était une méthode systématique pour toutes les fois où tu bloques en maths. 
]
Alors effectivement c'est justement ce qui me frustre !
Je vois qu'il y a énormément de similitudes, mais je tords les relations dans tous les sens et je n'y arrive pas 😭!
J'ai vraiment tout tout tout essayé !
Un autre petit indice ?
1+x <= exp(x)
1+x-exp(x) <=0
-exp(x) <= -1 -x
- exp(-x) <= 1/(-1-x)
Si x < 0, alors exp(-(-x)) < 1/(1+(-x))
exp(x) < 1/(1-x)
Est-ce cela?
Je ne comprends pas ce que vous faites.
Passer à l'inverse change le sens de l'inégalité par ailleurs.
Mon indication que je répète : appliquer b avec -x au lieu de x.
Je vais essayer ce que vous m'avez dit. C'est juste l'indication du début : x e ]0;1[ qui me laisse dubitative..
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