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Exponentielle

Posté par
Paula77
29-12-20 à 11:08

Bonjour à tous ! J'ai un exercice sur les exponentielles à compléter pour la rentrée, je ne suis pas sûre de mes réponses pourriez-vous m'aider svp ?

Voici l'énoncé:
Soit g la fonction définie par: g(x) = e^x-xe^x+1

1. Déterminer les limites de g en ?? et en +?. Que peut on en déduire pour la représentation graphique de la fonction g ?
2. Déterminer les asymptotes éventuelles de la représentation graphique de g .
3. Etablir le tableau de variations complet de la fonction g .
4. a) Démontrer que l?équation g (x) = 0 admet sur R une unique solution. On note ? cette solution.
b) A l?aide de la calculatrice, déterminer un encadrement d?amplitude 10?2 de ?.
c) Montrer que e^\alpha = \frac{1}{\alpha -1}
5. Déterminer le signe de g(x) suivant les valeurs de x

Voici mes réponses:

1. Quand x tend vers plus l'infini:
g(x)= e^x(1-x)+1
Donc la limite de e^x = + l'infini
La limite de 1-x = moins l'infini
La limite de 1 = 1
Par opération sur les limites on obtient lim g(x)= moins l'infini

Quand x tend vers moins l'infini:
La limite de e^x=0
La limite de xe^x= 0
La limite de 1=1
Par opération de limites, on obtient lim g(x)= 1

Mais par contre je ne comprends pas ce qu'ils veulent dire par "Que peut on en déduire pour la représentation graphique de la fonction g"?

2. Je ne suis pas sûre du tout. Il y a une asymptote horizontale y=1 ? C'est tout ?

3. Pour le tableau de variations j'y suis bien arrivée, j'ai calculé g(0)=2, j'ai dérivé g'(x)= -xe^x. Ce qui fait que j'ai d'abord + et - pour la dérivée (parce que le coeff devant x est négatif) et une courbe strictement croissante de 1 à 2 puis décroissante de 2 à moins l'infini pour g(x).

4. a) Il faut montrer qu'il y a un changement de signe, une continuité,   et une stricte monotonie.
--> La fonction g est dérivable, donc continue sur R
--> Comme vu dans le tableau de variations, la fonction est strictement décroissante sur [0; plus l'infini[
--> g(-4) = 1,09 et g(4)= -162,8, donc il y a bien un changement de signe dans R. Aussi, 0 est une valeur intérmédiaire de g dans R, car g(0)= 2 et \lim_{x\rightarrow +\propto } g(x)= -\propto
Donc g(x)=0 admet une unique solution \alpha sur R.

b) Je peux lire sur la calulatrice:
--> g(1)=1 et g(2)= 6,4, donc 1<\alpha<2
--> g(1,2)= 0,3 et g(1,3)= -0,1, donc 1,2 < \alpha < 1,3
--> g(1,27)= 0,04 et g(1,28)= -0,007, donc 1,27<  \alpha < 1,28

c) g(\alpha) = 0
Donc (1-\alpha ) e^\alpha +1 = 0
(1-\alpha ) e^\alpha = -1
e^\alpha = \frac{-1}{1-\alpha } = \frac{1}{\alpha -1}

5. J'ai répondu grâce au tableau de variation et à la définition de \alpha
--> Pour -\propto < x <0, on a g(x)>1
--> Pour 0 <x<\alpha, g(0)>g(x)>g(\alpha)=0, on a g(x)>0
--> Pour x>\alpha, g(x)<g(\alpha)=0, donc g(x)<0;
Alors g(x)<0 pour x>\alpha et g(x)>0 pour x<\alpha

C'était très long à taper
Merci d'avance pour votre aide !

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Posté par
malou Webmaster
re : Exponentielle 29-12-20 à 11:41

Bonjour Paula77
ton énoncé est effectivement très bien tapé et mérite une réponse
Je t'invite à te mettre en règle, et tu pourras obtenir de l'aide



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