Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques SupérieurOn parle exclusivement de maths, pour le supérieur principalement, les BTS, IUT, prépas... Maths sup AnalyseTopics traitant de analyse [tout]Lister tous les topics de mathématiques

1 2 +

Niveau Maths sup
Partager :

Exponentielle de complexe

Posté par Profil Ramanujan 18-02-19 à 01:38

Bonsoir,

J'ai du mal à comprendre la formulation de cette proposition et sa démonstration :

Soit a un nombre complexe non nul.

1/ Il existe un nombre complexe z tel que e^z =a

2/ Si z_0 est un nombre complexe qui vérifie e^{z_0}=a alors pour tout nombre complexe z on a : e^z =a si et seulement si il existe un k \in \Z tel que z=z_0 + 2i k \pi

Pas compris le lien entre le 1 et le 2. Le 1 est une partie de l'équivalence ?

Je n'ai pas compris la logique de démonstration car à la fin il est écrit dans mon livre en conclusion de la démo :

Ainsi on a prouvé que z_0 = ln(\rho) + i \theta est solution de e^z = a et que z est solution de cette équation si et seulement si z-z_0 \in 2ik \pi \Z

Pas compris pourquoi on prouve que z_0 est solution alors que dans l'hypothèse de la proposition 2 on part de  Si z_0 est un nombre complexe qui vérifie e^{z_0}=a

Bref si quelqu'un pourrait m'éclairer sur le principe de la démonstration et de ce théorème car je comprends rien du tout.

Posté par
Zormuchere : Exponentielle de complexe 18-02-19 à 05:14

Bonsoir

sans toute la démonstration, c'est un peu dur

Il semble que la partie "Ainsi on a prouvé que z0 est solution de ez=a" est la démonstration de la partie 1), c'est à dire l'exhibition d'un z tel que ça marche
mais il doit y avoir une faute de  frappe, car la phrase devrait se terminer par "ez0=a"

Rien de grave, juste des z0 dans la démonstration alors que la proposition parlait de z simple

Posté par
jsvdbre : Exponentielle de complexe 18-02-19 à 08:51

Bonjour Ramanujan.

C'est un résultat d'algèbre général :

si \phi : (G,\star) \rightarrow (G';*) est un morphisme de groupe, alors si g^* \in G', les solutions de l'équation en g, \phi(g) = g^*, sous réserve qu'une solution particulière g_0\in G soit connue, sont données par l'ensemble \{g_0 \star k~/~k \in \ker \phi\}

On part donc du fait que \blue \exp : (\C;+) \rightarrow (\C^*;\times) est un morphisme de groupe.

Partant, cette application a un noyau qui est un sous-groupe de (\C;+) et qui sont tous les z tels que e^z=1.

Or pour z = a+ib, on a \exp(a+ib) = \exp(a)\exp(ib) et on vérifie facilement que |\exp(z)| = |\exp(a)|.

Par suite \ker(\exp) \subset i\R.

L'application \blue \phi : (\R;+) \rightarrow (\C^*;\times);~\phi(x) = \exp(ix) est un morphisme de groupe.
Par conséquent son noyau est soit dense dans \R soit de la forme g\Z pour un certain g \in \R_+.

L'étude de \phi montre la seconde solution et on note g = 2\pi.

Donc \ker \phi = 2\pi\Z et \ker(\exp) = 2i\pi \Z

Soit w_0 \in \C^*. Supposons que l'on ait trouvé w' tel que \exp(w') = w_0

On souhaite alors trouver toutes les solutions en z de (*) :\exp(z) = w_0.

Le résultat d'algèbre général rappelé ci-dessus montre que les solutions de l'équation (*) sont les w' + 2ik\pi pour k \in \Z.

Posté par
carpediemre : Exponentielle de complexe 18-02-19 à 10:11

salut

il apparait un r = rho non défini dans l'énoncé ... comme d'habitude ...

pourquoi faire compliqué quand on peut faire simple ... donc parler de morphisme quand on peine sur ces propriétés élémentaires ...

"on" a vu (et les précédents posts de Ramanujan le prouve) que tout nombre complexe a s'écrit a = re^{it}

e^z = a \iff e^{x + iy} = re^{it} \iff e^x e^{iy} = re^{it} \iff \left\lbrace\begin{matrix} e^x = r\\ e^{iy} = e^{it} \end{matrix}\right. \iff \left\lbrace\begin{matrix} x = \ln r\\ y = t + k2\pi \end{matrix}\right. \iff z = \ln r + i(t + k2\pi)

et deux solutions z et w vérifient z - w = ik2\pi

niveau terminale ...

1/ dit que l'équation admet une solution z
2/ dit que toutes les solutions sont w = z + i2k\pi

e^w = e^{z + i2k\pi} = e^ze^{i2k\pi} = a1 = a

Posté par Profil Ramanujanre : Exponentielle de complexe 18-02-19 à 13:43

@Jsvdb
Bien trop compliqué pour mon niveau actuel, j'ai pas compris grand chose et j'ai pas encore étudié l'algèbre de MPSI.

@Carpediem

J'ai compris votre raisonnement mais j'ai encore des questions.

La propriété 1 qui est :

Soit a  \in \C. Il existe au moins un nombre complexe z tel que e^z=a

Je comprends pas le principe de la démo. Pour moi c'est la partie unicité dans le raisonnement analyse synthèse pas la partie existence !

Voici la démo de mon livre :

\exists \rho >0 et \theta \in \R : a = \rho e^{i \theta} donc : |a| = \rho = e^{\Re(z)}

Ainsi : \Re(z) = \ln(\rho)

Comme : e^{i \theta} =  e^{i \Im(z)}

\Im(z) \equiv \theta [2 \pi]

Donc il existe un k \in \Z :  z= \ln(\rho) + i (\Im(z) + 2 k \pi})

En quoi on a montré l'existence ici ?

Posté par
lionel52re : Exponentielle de complexe 18-02-19 à 14:55

A la limite si ça te pose problème montre que ce z vérifie bien e^z = a et voilà t'as prouvé l'existence

Posté par
carpediemre : Exponentielle de complexe 18-02-19 à 15:07

c'est bien ce que je disais !!!

1/ a été prouvé auparavant ...

Posté par
jsvdbre : Exponentielle de complexe 18-02-19 à 15:19

@Ramanujan  désolé pour cet erreur de jugement de ma part 😟

Posté par Profil Ramanujanre : Exponentielle de complexe 18-02-19 à 17:33

jsvdb @ 18-02-2019 à 15:19

@Ramanujan  désolé pour cet erreur de jugement de ma part 😟


Je suis qu'au chapitre 3 de MPSI et y en a une vingtaine, les morphismes sont abordés bien après... Je verrai ces notions dans quelques mois.

Posté par Profil Ramanujanre : Exponentielle de complexe 18-02-19 à 17:49

@Carpediem
@Lionel

J'ai montré l'unicité donc pas encore terminé de montrer le point n°1. Existence :

On avait posé : a = \rho e^{i \theta}
On a trouvé : z = \ln(\rho) + i \theta + 2 i k \pi

Calculons : e^z = e^{\ln(\rho)+i \theta + 2 i k \pi } = e ^{\ln(\rho)} e^{i \theta + 2 i k \pi}=\rho e^{i \theta} = a

On a montré l'existence d'une solution à l'équation e^z =a

J'en viens au point 2 : (je me demande si on peut utiliser le point 1 pour la démo)

Si z_0 est un nombre complexe vérifiant e^{z_0} = a alors pour tout z \in \C on a : e^z =a si et seulement si il existe k \in \Z tel que z=z_0 + 2i k \pi

Montrons l'implication <=

Soit z_0 est un nombre complexe vérifiant e^{z_0} = a

Supposons qu'il existe  k \in \Z tel que z=z_0 + 2i k \pi

Alors e^z = e^{z_0 + 2i k \pi} = e^{z_0} e^{2i k \pi} = a \times 1 = a

L'implication est vérifiée.

Montrons l'implication =>

Soit z \in \C tel que e^z =a

Ici j'ai du mal à comprendre comment utiliser le point 1 car on a la condition supplémentaire e^{z_0}=1

C'est ici que je bloque j'ai du mal à voir le lien direct avec le point 1

Posté par
carpediemre : Exponentielle de complexe 18-02-19 à 18:12

tu mélanges tout ...

unicité de quoi ?

Posté par
lionel52re : Exponentielle de complexe 18-02-19 à 18:18

Tu as montré l'unicité de?

Posté par Profil Ramanujanre : Exponentielle de complexe 18-02-19 à 18:21

Je me suis renseigné sur internet sur l'analyse synthèse.

Pour le point 1 on cherche l'existence d'au moins un nombre complexe z tel que e^z =a

Et on part de soit z un nombre complexe vérifiant e^z =a
Quand on exhibe la solution z on a montré l'unicité.
Puis pour montrer l'existence on vérifie que le z trouvé vérifie bien l'équation e^z =a

Par contre pour le point 2 je bloque toujours sur l'implication directe =>

Posté par Profil Ramanujanre : Exponentielle de complexe 18-02-19 à 18:23

lionel52 @ 18-02-2019 à 18:18

Tu as montré l'unicité de?


L'unicité d'une solution à l'équation e^z=a avec a fixé dans \C^*

Posté par
carpediemre : Exponentielle de complexe 18-02-19 à 18:23

n'importe quoi ...

existence signifie existence d'au moins un !!!!

Posté par
lionel52re : Exponentielle de complexe 18-02-19 à 18:24

Ok et donc tu penses que l'équation a une unique solution alors que tu montres l'inverse dans le point suivant?...

Posté par
lionel52re : Exponentielle de complexe 18-02-19 à 18:27

L'Analyse et Synthèse (ce que tu dois faire en effet ici) bah c'est pas du tout ça

Analyse : Si trucmuche vérifie trucmache alors trucmuche vérifie trucmiche

Synthèse : Si trucmuche vérifie trumiche on a bien que trucmuche vérifie trucmache

A toi d'adapter...

Posté par Profil Ramanujanre : Exponentielle de complexe 18-02-19 à 18:36

Pourtant j'ai lu ça sur bibmaths...

"Le raisonnement par analyse-synthèse est un type de raisonnement mathématique permettant de démontrer l'existence et l'unicité d'un objet vérifiant des propriétés données. Il se décompose en deux parties :
l'analyse : on suppose que l'objet existe et on essaie de trouver des conditions nécessaires que doit vérifier cet objet. Ce faisant, on prouve que si l'objet existe, alors il est nécessairement égal à une certain objet O0 (ceci assure l'unicité).
la synthèse : on considère l'objet O0 identifié dans la partie analyse, et on vérifie qu'il a bien les propriétés voulues (ceci assure l'existence)."

J'ai pas trop compris l'histoire des trucmuches. Je n'ai pas compris le principe de l'analyse synthèse.

Alors comment vous faites pour montrer l'existence d'un z   \in  \C tel que e^z =a ?

Posté par Profil Ramanujanre : Exponentielle de complexe 18-02-19 à 19:07

J'ai toujours pas compris la logique du raisonnement de l'existence


Pour le point 2 mon raisonnement est-il juste ?  Car mon livre ne démontre pas le point 2 comme si c'était évident

Montrons l'implication direct =>

Soit z \in \C tel que e^z =a avec a  \ne 0 donc |a| \ne 0

Et je dois montrer que z = z_0 + 2 i k \pi

J'ai e^{z} = e^{z_0} donc : e^{\Re(z)} e^{i \Im(z)} = e^{{\Re(z_0)} e^{i \Im(z_0)}

Par passage au module on a : e^{\Re(z)} =  e^{\Re(z_0)} donc par passage au logarithme : \Re(z)=\Re(z_0)

En divisant par les modules qui sont égaux et non nuls : e^{\Im(z)} =  e^{\Im(z_0)} donc \Im(z) = \Im(z_0) + 2 k \pi

Enfin : z = z_0 + 2 i k \pi

C'est correct ?

Posté par
Zormuchere : Exponentielle de complexe 18-02-19 à 20:03

Bonsoir

Je propose :

Soient  z_0 et z tels que  e^{z_0}=a et e^{z}=a

\dfrac{e^{z}}{e^{z_0}}=1 = e^{z-z_0

Posté par
carpediemre : Exponentielle de complexe 18-02-19 à 20:13

carpediem @ 18-02-2019 à 10:11

salut

il apparaît un r = rho non défini dans l'énoncé ... comme d'habitude ...

pourquoi faire compliqué quand on peut faire simple ... donc parler de morphisme quand on peine sur ces propriétés élémentaires ...

"on" a vu (et les précédents posts de Ramanujan le prouve) que tout nombre complexe a s'écrit a = re^{it}

e^z = a \iff e^{x + iy} = re^{it} \iff e^x e^{iy} = re^{it} \iff \left\lbrace\begin{matrix} e^x = r\\ e^{iy} = e^{it} \end{matrix}\right. \iff \left\lbrace\begin{matrix} x = \ln r\\ y = t + k2\pi \end{matrix}\right. \iff z = \ln r + i(t + k2\pi)

et deux solutions z et w vérifient z - w = ik2\pi

niveau terminale ...

1/ dit que l'équation admet au moins une solution z
2/ dit que toutes les solutions sont w = z + i2k\pi

e^w = e^{z + i2k\pi} = e^ze^{i2k\pi} = a1 = a
et tout est dit ...

Posté par Profil Ramanujanre : Exponentielle de complexe 18-02-19 à 20:47

Zormuche @ 18-02-2019 à 20:03

Bonsoir

Je propose :

Soient  z_0 et z tels que  e^{z_0}=a et e^{z}=a

\dfrac{e^{z}}{e^{z_0}}=1 = e^{z-z_0


Oui mais c'est des exponentielles complexes donc c'est pas direct ici.

On connait pas la solution de e^z = 1 c'est pas dans le cours.

Posté par Profil Ramanujanre : Exponentielle de complexe 18-02-19 à 20:51

carpediem @ 18-02-2019 à 20:13

carpediem @ 18-02-2019 à 10:11

salut

il apparaît un r = rho non défini dans l'énoncé ... comme d'habitude ...

pourquoi faire compliqué quand on peut faire simple ... donc parler de morphisme quand on peine sur ces propriétés élémentaires ...

"on" a vu (et les précédents posts de Ramanujan le prouve) que tout nombre complexe a s'écrit a = re^{it}

e^z = a \iff e^{x + iy} = re^{it} \iff e^x e^{iy} = re^{it} \iff \left\lbrace\begin{matrix} e^x = r\\ e^{iy} = e^{it} \end{matrix}\right. \iff \left\lbrace\begin{matrix} x = \ln r\\ y = t + k2\pi \end{matrix}\right. \iff z = \ln r + i(t + k2\pi)

et deux solutions z et w vérifient z - w = ik2\pi

niveau terminale ...

1/ dit que l'équation admet au moins une solution z
2/ dit que toutes les solutions sont w = z + i2k\pi

e^w = e^{z + i2k\pi} = e^ze^{i2k\pi} = a1 = a
et tout est dit ...


Je comprends pas le rapport avec le théorème 2 et le z_0

Résoudre l'équation me pose pas de souci, ce que je comprends pas je l'ai expliqué, mais vous me donnez une solution en changeant les notations et ça répond pas à ce qui me gêne ici.

Je veux démontrer exactement le théorème 2 et j'aimerais comprendre comment démontrer une existence.

Vous mettez des équivalences c'est des calculs mais ça m'aide pas à comprendre le sens profond du raisonnement.

Posté par Profil Ramanujanre : Exponentielle de complexe 18-02-19 à 21:00

Puis Carpedim vous expliquez que :

z= \ln(r) + i (t + 2 k \pi) je suis ok avec des équivalences.

Mais d'où sortent les 2 solutions z et \omega tel que z- \omega = 2 k \pi i

Et pour la 2 vous faites j'ai pas compris quelle implication du si et seulement si vous faites car vous partez de z= z_0 + 2 k \pi i et normalement on doit montrer que ça implique e^z = a

Mais dans votre calcul vous utilisez e^z = a je comprends pas la logique

Posté par Profil Ramanujanre : Exponentielle de complexe 18-02-19 à 21:01

Puis comme vous changez les notations de l'énoncé je comprends plus rien.

Posté par Profil Ramanujanre : Exponentielle de complexe 18-02-19 à 21:16

Et j'ai pas compris pourquoi il y a une infinité de solution en regardant le point 2.

Posté par
carpediemre : Exponentielle de complexe 18-02-19 à 21:36

bon j'abandonne ...

Posté par Profil Ramanujanre : Exponentielle de complexe 18-02-19 à 21:59

Merci quand même mais vous vous allez trop vite pour moi et vous n'avez pas capté ce que j'ai pas compris.

Vous justifiez pas que votre \omega est solution.

Votre point 2 vous écrivez 1 ligne alors que c'est un si et seulement si donc 2 implications vous vous mettez pas à mon niveau.

Posté par
lionel52re : Exponentielle de complexe 18-02-19 à 22:12

Tu as montré 50 fois ici et sur maths forum.com que

exp(ia) = exp(ib) équivaut à a = b [2pi]

Il faut quoi de plus on avance pas là...

Posté par
mousse42re : Exponentielle de complexe 19-02-19 à 00:48

Bonsoir,

Je vais faire une tentative même si tout a été dit...

On a \large a,z_0\in \mathbb{C} qui vérifie \large e^{z_0}=a alors

\large \forall z\in \mathbb{C},\; \bigg[e^z=a\iff \exists k\in \mathbb{Z},\;z=z_0 + 2i k \pi\bigg]

on montre \implies

On suppose que \large e^z=a, puisque \large e^{z_0}=a, on déduit que :

\large a-a=0\iff e^{z_0}-e^z=0\iff e^{z_0}(1-e^{z-z_0})=0\iff (1-e^{z-z_0})=0\iff e^{z-z_0}=1

Et puisque l'on sait que \large e^{i2k\pi}=1, on déduit que \large z-z_0=i2k\pi donc que  \large z=z_0+i2k\pi

\large \Longleftarrow trivial

On suppose que  \large z=z_0+i2k\pi

\large e^{z}=e^{z_0+i2k\pi}=e^{z_0}\cdot  e^{i2k\pi}=e^{z_0}\cdot 1=e^{z_0}=a

Posté par
mousse42re : Exponentielle de complexe 19-02-19 à 01:25

Soit \large a\in\mathbb{C}^*

\large \exists z\in \mathbb{Z}, a=e^{z}

Si tu veux faire un raisonnement par analyse synthèse

Analyse :
On suppose que z existe , ensuite on propose des candidats ( ici un seul suffit) en exprimant  z en fonction de a

Synthèse
On vérifie que z est un complexe


Analyse : (je reprends le resultat de carpediem)

Puisque a est un complexe, on \large a = re^{it} avec (r,t)\in (\mathbb{R}_+^*,\mathbb{R})

On suppose que z existe, on a donc  z=x+iy

Ainsi \large e^{z}=re^{it}\iff e^{x+iy}=re^{it}\iff e^xe^{iy}=re^{it}\iff \left\lbrace\begin{array}{l}e^x=r\\y=t+i2k\pi\end{array}\right.

Il suffit de prendre x:=\ln r et y:=t et on a :\large e^{z}=e^{\ln r+it}=re^{it}=a
Donc z=\ln r +it convient

Synthèse

z doit être un nombre complexe.

\large z=x+iy=\ln r+it\in \mathbb{C} puisque \ln r,t\in \mathbb{R}

Posté par
mousse42re : Exponentielle de complexe 19-02-19 à 01:28

j'ajoute que montrer que z est un complexe dans la synthèse, c'est montrer l'existence

Posté par
luzakre : Exponentielle de complexe 19-02-19 à 08:29

Bonjour !
Je pense que le point 1. n'a pas été démontré et qu'il faut une preuve.
A ma connaissance, sauf bla-bla, la surjectivité de l'exponentielle complexe ne peut se faire sans un minimum de propriétés de l'exponentielle.
Le gros problème étant la définition des arguments.

Si on admet cette existence toute difficulté disparaît et des calculs accessibles en Terminale suffisent !

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Exponentielle de complexe 19-02-19 à 08:52

Bonjour,
Je ne comprends pas pourquoi on va chercher midi à 14h pour l'existence.
On cherche au brouillon, on trouve et on ne recopie que ce qui est utile :
a 0 donc il existe r et t réels avec a = reit et r>0 .

r>0 donc ln(r) existe et eln(r) + it = eln(r) eit = r eit .

L'égalité eln(r) + it = a prouve l'existence de z dans tel que ez = a .

Posté par
mousse42re : Exponentielle de complexe 19-02-19 à 09:16

Bonjour,

luzak : oui, je pense qu'il faut montrer que  \large \forall z_1,z_2\in \mathbb{C},\;e^{z_1+z_2}=e^{z_1}e^{z_2} avec les séries entières.

sylvieg Ramanujan tient à utiliser le raisonnement par analyse synthèse et il ne comprend pas les explications de carpediem, voilà pourquoi une preuve très détaillée étape par étape.

Posté par
carpediemre : Exponentielle de complexe 19-02-19 à 09:38

carpediem @ 18-02-2019 à 20:13

carpediem @ 18-02-2019 à 10:11

salut

il apparaît un r = rho non défini dans l'énoncé ... comme d'habitude ...

pourquoi faire compliqué quand on peut faire simple ... donc parler de morphisme quand on peine sur ces propriétés élémentaires ...

"on" a vu (et les précédents posts de [b]Ramanujan le prouve) que tout nombre complexe a s'écrit a = re^{it}[/b]

e^z = a \iff e^{x + iy} = re^{it} \iff e^x e^{iy} = re^{it} \iff \left\lbrace\begin{matrix} e^x = r\\ e^{iy} = e^{it} \end{matrix}\right. \iff \left\lbrace\begin{matrix} x = \ln r\\ y = t + k2\pi \end{matrix}\right. \iff z = \ln r + i(t + k2\pi)

et deux solutions z et w vérifient z - w = ik2\pi

niveau terminale ...

1/ dit que l'équation admet au moins une solution z
2/ dit que toutes les solutions sont w = z + i2k\pi

e^w = e^{z + i2k\pi} = e^ze^{i2k\pi} = a1 = a
et tout est dit ...

Posté par Profil Ramanujanre : Exponentielle de complexe 19-02-19 à 17:50

mousse42 @ 19-02-2019 à 00:48

Bonsoir,

Je vais faire une tentative même si tout a été dit...

On a \large a,z_0\in \mathbb{C} qui vérifie \large e^{z_0}=a alors

\large \forall z\in \mathbb{C},\; \bigg[e^z=a\iff \exists k\in \mathbb{Z},\;z=z_0 + 2i k \pi\bigg]

on montre \implies

On suppose que \large e^z=a, puisque \large e^{z_0}=a, on déduit que :

\large a-a=0\iff e^{z_0}-e^z=0\iff e^{z_0}(1-e^{z-z_0})=0\iff (1-e^{z-z_0})=0\iff e^{z-z_0}=1

Et puisque l'on sait que \large e^{i2k\pi}=1, on déduit que \large z-z_0=i2k\pi donc que  \large z=z_0+i2k\pi

\large \Longleftarrow trivial

On suppose que  \large z=z_0+i2k\pi

\large e^{z}=e^{z_0+i2k\pi}=e^{z_0}\cdot  e^{i2k\pi}=e^{z_0}\cdot 1=e^{z_0}=a


Merci Mousse tout compris excepté une chose qui me bloque depuis hier :

Comment vous résolvez : e^{z-z_0} = e^{2ik \pi} = e^0 = 1 ?

Mon cours donne seulement les solutions de : e^{i \varphi} = e^{i \psi}

Posté par Profil Ramanujanre : Exponentielle de complexe 19-02-19 à 17:55

mousse42 @ 19-02-2019 à 01:25

Soit \large a\in\mathbb{C}^*

\large \exists z\in \mathbb{Z}, a=e^{z}

Si tu veux faire un raisonnement par analyse synthèse

Analyse :
On suppose que z existe , ensuite on propose des candidats ( ici un seul suffit) en exprimant  z en fonction de a

Synthèse
On vérifie que z est un complexe


Analyse : (je reprends le resultat de carpediem)

Puisque a est un complexe, on \large a = re^{it} avec (r,t)\in (\mathbb{R}_+^*,\mathbb{R})

On suppose que z existe, on a donc  z=x+iy

Ainsi \large e^{z}=re^{it}\iff e^{x+iy}=re^{it}\iff e^xe^{iy}=re^{it}\iff \left\lbrace\begin{array}{l}e^x=r\\y=t+i2k\pi\end{array}\right.

Il suffit de prendre x:=\ln r et y:=t et on a :\large e^{z}=e^{\ln r+it}=re^{it}=a
Donc z=\ln r +it convient

Synthèse

z doit être un nombre complexe.

\large z=x+iy=\ln r+it\in \mathbb{C} puisque \ln r,t\in \mathbb{R}


Ok j'ai compris le raisonnement sauf une chose :

Pourquoi lors de la synthèse on doit montrer que z est complexe ?
Pour moi la synthèse c'est montrer que z est solution.

Posté par Profil Ramanujanre : Exponentielle de complexe 19-02-19 à 18:04

Mais pourquoi des complications sur les séries entières ? Je vous suis pas. C'est même pas au programme de MPSI...

Voici la définition de mon livre de l'exponentielle complexe :

Pour tout z \in \C, on appelle e^z ou exponentielle de z le nombre complexe : e^z = e^{\Re(z)} e^{i \Im(z)}

Il est facile de démontrer que e^{z+z'} = e^z \times e^z'

Soit z=x+iy et z'= x'+iy'

On a alors : e^{z+z'}=e^{(x+x')+i(y+y')}

Donc : e^{z+z'}=e^{x+x'} e^{i(y+y')} par définition de l'exponentielle complexe

D'où : e^{z+z'}=e^{x+x'} e^{i(y+y')} = e^x e^x' e^{iy} e^{iy'} propriétés de l'exponentielle réelle et complexe

Soit : e^{z+z'}=e^{x+x'} e^{i(y+y')} = (e^x e^{iy}) (e^x'  e^{iy'})=e^z e^z'

Posté par Profil Ramanujanre : Exponentielle de complexe 19-02-19 à 18:20

@Luzak

Bonjour. Voici une démonstration du point 1 :

a \in \C^* donc il peut s'écrire sous forme trigonométrique : a = \rho e^{i \theta} avec \rho >0 et \theta \in \R

Soit z vérifiant e^z =a c'est-à-dire : \rho e^{i \theta} = e^{\Re(z)} e^{i \Im(z)}

On a alors : \rho= |a| = |e^z| = e^{\Re(z)} donc \Re(z) = \ln(\rho)

Par ailleurs : e^{\i \theta}=e^{i \Im(z)} donc \theta \equiv \Im(z) [ 2 \pi]

Par suite \exists k \in \Z tel que : z= \ln (\rho) + i \theta + 2ik \pi

Réciproquement, si k \in \Z alors : e^{\ln (\rho) + i \theta + 2ik \pi}=e^{\ln(\rho} e^{ i \theta + 2ik \p} = \rho e^{i \theta} = a

On a prouvé que \forall k \in \Z  , z= \ln (\rho) + i \theta + 2ik \pi est solution de e^z =a

En particulier pour k=0 on a une solution qu'on peut appelé z_0 : z_0 =  \ln (\rho) + i \theta

Posté par
mousse42re : Exponentielle de complexe 19-02-19 à 18:23

mais c'est quoi ton problème exactement, peux-tu être plus précis, je ne comprends pas où ça bloque

Posté par Profil Ramanujanre : Exponentielle de complexe 19-02-19 à 18:34

1/ Je ne sais pas résoudre e^{z-z_0} = 1

Je sais résoudre seulement e^{i \theta} = e^{i \theta '} car dans mon cours la solution est donnée par : \theta \equiv \theta '   [2 \pi]

2/ J'ai pas compris le principe du raisonnement par analyse synthèse en général.
Car quand je lis des cours sur internet, ils disent que pour montrer l'unicité on fait l'analyse et pour montrer l'existence on fait la synthèse en vérifiant que c'est bien solution.

Alors que sur ce forum tout le monde me dit que c'est faux. Du coup je comprends plus rien.

Posté par
mousse42re : Exponentielle de complexe 19-02-19 à 18:37

Citation :
1/ Je ne sais pas résoudre e^{z-z_0} = 1


on a e^{i2k\pi}=1 donc z-z_0=i2k\pi

Posté par Profil Ramanujanre : Exponentielle de complexe 19-02-19 à 18:49

mousse42 @ 19-02-2019 à 18:37

Citation :
1/ Je ne sais pas résoudre e^{z-z_0} = 1


on a e^{i2k\pi}=1 donc z-z_0=i2k\pi


Mais ça vient d'où ? C'est pas un résultat donné dans mon cours. Je tente une démo....

e^{z - z_0} = e^{(\Re(z) - \Re(z_0))} e^{i (\Im(z) - \Im(z_0))} = 1

Or : |e^{z-z_0}| = e^{(\Re(z) - \Re(z_0)} =1

On en déduit : e^{i (\Im(z) - \Im(z_0)} = e^ {i 0}

D'où : \Im(z) - \Im(z_0) = 0 + 2 k i \pi

Soit \Im(z) = \Im(z_0) + 2 i k \pi

Mais comme : e^{(\Re(z) - \Re(z_0)} =1 alors forcément : \Re(z) - \Re(z_0)=0 et donc \Re(z) = \Re(z_0)

D'où : z - z_0 = \Re(z) - \Re(z_0) + \Im(z) - \Im(z_0) =  2 i k \pi

C'est juste comme démo ?

Posté par
mousse42re : Exponentielle de complexe 19-02-19 à 19:01

Je tente une explication sur le raisonnement par analyse synthèse  : (à valider par un professeur)

Pour la partie analyse on suppose que l'objet existe et on cherche des conditions nécessaires pour que cet objet soit solution.

Dans ton cas les conditions nécessaires sont z=\ln r+i(t+2k\pi)

Dans la synthèse on doit montrer que z existe c'est à dire que z est quelque part dans \mathbb{C} \\

et c'est terminé, note qu'il n'y a pas unicité de la solution.

Posté par Profil Ramanujanre : Exponentielle de complexe 19-02-19 à 19:04

Ah d'accord merci.

Une petite précision, l'étape où on vérifie que le z=\ln(r) + i(t + 2 k \pi) trouvé est bien solution est dans la partie analyse ou synthèse ?

Posté par Profil Ramanujanre : Exponentielle de complexe 19-02-19 à 19:06

Oui Mousse il y a une infinité de solution car \forall k \in \Z le nombre complexe z=\ln(r) + i (t + 2 k \pi) vérifie bien l'équation

Posté par
mousse42re : Exponentielle de complexe 19-02-19 à 19:11

on pose z-z_0=w\in\mathbb{C}

e^{w}=1\iff e^{x+iy}=1\iff e^x(\cos(y)+i\sin(y))=1\iff e^{x}\cos y =1\iff\left\lbrace \begin{array}{ll}x=0\\y=2k\pi}\end{array}\right.\iff w=i2k\pi

Donc w=z-z_0=i2k\pi\iff z=z_0+i2k\pi

Posté par
mousse42re : Exponentielle de complexe 19-02-19 à 19:24

Ramanujan @ 19-02-2019 à 19:04

Ah d'accord merci.

Une petite précision, l'étape où on vérifie que le z=\ln(r) + i(t + 2 k \pi) trouvé est bien solution est dans la partie analyse ou synthèse ?


Lorsque tu as construit ton objet comme tu l'as fait, c'est la partie analyse (pour l'instant on ne sais pas si cet objet existe.

Voici un bon exercice sur le raisonnement par analyse synthèse  :


Montrer que toute fonction se décompose de façon unique en une somme d'une fonction paire et d'une fonction impaire.

Posté par Profil Ramanujanre : Exponentielle de complexe 19-02-19 à 19:46

Je ne comprends pas cette équivalence :

e^x(\cos(y)+i\sin(y))=1\iff e^{x}\cos y =1

L'implication e^{x}\cos y =1 \Rightarrow e^x(\cos(y)+i\sin(y)) d'où elle sort

J'aurais mis : e^x(\cos(y)+i\sin(y))=1\iff  (e^{x}\cos y =1 et \sin(y)=0)


J'ai aussi un souci dans cette équivalence :

e^{x}\cos y =1\iff\left\lbrace \begin{array}{ll}x=0\\y=2k\pi}\end{array}\right

Je ne comprends pas comment vous obtenez l'implication suivante

e^{x}\cos y =1\Rightarrow \left\lbrace \begin{array}{ll}x=0\\y=2k\pi}\end{array}\right

1 2 +


Rechercher
Menu
Espace membre
Changer d'île

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1674 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !