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Exponentielle de matrice

Posté par
g0217d 17-04-21 à 00:40

Bonsoir,
Je cherche à démontrer que pour toute matrice carrée A de dimension n à coefficients dans K, e^{tA} = \sum_{k=1}^{n}{y_k(t) B_k} avec Sp(A) = (\lambda_{k})_{1 \leq k \leq n}, pour tout k compris entre 1 et n
\left\{\begin{array}{l} B_{1}=I_{n} \\ B_{k+1}=\left(A-\lambda_{k} I_{n}\right) B_{k} \end{array}\right.
et y = (y_1, y_2, \dots, y_n) l'unique solution de
y^{\prime}(t)=\underbrace{\left(\begin{array}{ccccc} \\ \lambda_{1} & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ \\ 1 & \lambda_{2} & 0 & \ddots & \vdots \\ \\ 0 & \ddots & \ddots & \ddots & 0 \\ \\ \vdots & \ddots & 1 & \lambda_{n-1} & 0 \\ \\ 0 & \cdots & 0 & 1 & \lambda_{n} \\ \end{array}\right)}_{=J} y(t)
tel que y(0) = (1, 0, \dots, 0).
J'ai essayé d'utiliser le fait que e^{tA} est l'unique solution de M^\prime(t)=AM(t) tel que M(0) = I. La condition initiale M(0) = I est bien vérifiée par \sum_{k=1}^{n}{y_k(t) B_k}. Ensuite, j'ai essayé d'utiliser la relation y\prime = Jy en dérivant \sum_{k=1}^{n}{y_k(t) B_k} pour montrer que cette fonction vérifie aussi M^\prime(t)=AM(t). J'ai
\left(\sum_{k=1}^{n} y_{k} B_{k}\right)^{\prime}=\sum_{k=1}^{m} y_{k}^{\prime} B_k
et
\left\{\begin{array}{l} y^{\prime}_1=\lambda_{1} y_{1} \\ y_{2}^{\prime}=y_{1}+\lambda_{2} y_{2} \\ \vdots \\ y^\prime_{n}=y_{n-1}+\lambda_{n} y_{n} \end{array}\right.
mais là je bloque. Pourriez vous m'aider SVP ?

Posté par
g0217dre : Exponentielle de matrice 17-04-21 à 21:41

Bonsoir,
J'ai fini par trouver, c'était tout simple. En fait, il fallait remarquer que
\begin{aligned} \left(\sum_{k=1}^{n} y_{k} B_{k}\right)^{\prime}=&\left(\lambda_{1} y_{1} B_{1}+y_{1} B_{2}\right)+\left(\lambda_{2} y_{2} B_{2}+y_{2} B_{3}\right) \\ &+\ldots+\left(\lambda_{n-1} y_{n-1} B_{n-1}+y_{n-1} B_{n}\right) \\ &+(\lambda_{n} y_{n} B_{n}+y_{n} \underbrace{P_{A}}_{=0} \end{aligned}
et de là, on peut factoriser par A.
Bonne soirée


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