Bonsoir, je bloque sur la méthode a utiliser sur un exercice d'exponentielle

voici le problème :
On considère la fonction f définie sur R par :
f(x)=(x+1)e^x

1) Etudier les variations de la fonction f
2)a) déterminer la dérivée seconde de f, notée f"
b) étudier la convexité de la fonction f

Pour la 1ere question je pensais faire une dérivée du type u'v+uv' pour trouver sa dérivée puis faire le table de signe et ensuite le tableau de variation.
On utilisant u'v+uv' j'ai trouvé : e^2x+xe^x
Je voudrais savoir si ma démarche et bonne et si mon premier calcul est bon.
Merci de votre aide