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Exponentielle et logarithme
Bonjour, je n'arrive vraiment à rien avec cet exercice... Je ne vois pas comment passer de E1 à E2 et sur quoi partir pour la question 2, merci d'avance...
On considère l'équation (E1): e^x -x^n =0 où x est un réel strictement positif et n un entier naturel non nul.
1.Montrer que l'équation (E1) est équivalente à l'équation (E2): ln(x) -x/n=0
2. Pour quelles valeurs de n l'équation (E1) admet elle deux solutions?
Bonjour,
Je ne vois pas comment passer de E1 à E2
tu écris e^x = x^n et tu prends le logarithme népérien des deux cotés.
E2 peut s'écrire x/n = lnx.
Les solutions de cette équation sont les abscisses des points d'intersection (s'ils existent) des courbes représentatives des fonctions lnx et x/n .
Fais un croquis avec la courbe représentative de lnx et plusieurs droites d'équation y = x/n (en prenant plusieurs valeurs pour n ).
Tu pourras ainsi te rendre compte des situations possibles : la droite coupe la courbe en deux points ou un point ou aucun point.
Et à partir de là comment on peut trouver deux solutions, enfin je veux dire comment on peut isoler le x de telle manière de trouver les deux solutions?
Moi j'aurais écris ln x / x = 1/n puis j'aurais étudié la fonction ln x / x
et notamment trouvé le maximum.
Après il est facile de discuter suivant les valeurs de n quand la droite y=1/n coupe la courbe en deux points ou pas il suffit que 1/n soit plus petit que le maximum de la fonction.
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