Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques SupérieurOn parle exclusivement de maths, pour le supérieur principalement, les BTS, IUT, prépas... Analyse complexeTopics traitant de analyse complexe [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau Prepa (autre)
Partager :

Exponentielle et logarithme

Posté par
Raoulmarie 30-09-24 à 08:21

Bonjour,

Je suis nouveau sur ce forum et je me connecte pour la 1ere fois.

J'ai besoin d'un aide pour résoudre cette équation en PJ à résoudre dans IR.

Bien à vous.

** Fichier supprimé **

Posté par
malou Webmasterre : Exponentielle et logarithme 30-09-24 à 09:22

Bonjour et bienvenue

attentionextrait de c_faq la FAQ du forum :

Q10 - Puis-je insérer des symboles mathématiques afin de faciliter la lecture de mon message ?


Merci de lire le règlement concernant les images
attentionextrait de c_faq la FAQ du forum :

Q05 - Puis-je insérer une image dans mon message ? Comment faire ? Quelle image est autorisée ?



Tu peux écrire ça très facilement en Ltx

Posté par
Raoulmariere : Exponentielle et logarithme 30-09-24 à 17:28

Bonjour,

Merci pour votre message. Voici ma réponse en retour.

J'ai besoin d'un aide pour résoudre cette équation en PJ à résoudre dans IR :  2^{3^{4x}} = 4^{3^{2x}}

je trouve comme résultat x = \frac{\ln(2)}{2 \cdot \ln(3)}

Mais on m'a répondu que c'était faux comme résultat

Merci d'une aide.

* Modération > balises LaTeX mises. Penser à faire "Aperçu" avant de poster *

Posté par
larrechre : Exponentielle et logarithme 30-09-24 à 17:45

Bonjour,

Citation :
je trouve comme résultat x = \dfrac{\ln(2)}{2 \cdot \ln(3)}


C'est tout de suite mieux quand on met les balises tex

Si l'équation est telle qu'écrite, c'est correct.

Posté par
Ulmierere : Exponentielle et logarithme 30-09-24 à 18:20

Quand on résout une équation il faut toujours préciser sur quel intervalle on cherche des solutions.

Avant de faire cela, il est toujours vrai
que 4^{3^{2x}} = 2^{2\cdot 3^{2x}}
que pour tous y et z réels, 2^y = 2^z \iff y = z.

Donc ton équation est équivalente à \left(3^{2x}\right)^2 = 2 \times 3^{2x}.
Elle est polynomiale en 3^{2x} : si solutions il y a elles sont telles que 3^{2x} appartient à l'ensemble des solutions de l'équation Y^2 = 2Y, c'est-à-dire \{0, 2\}.
0 est une valeur exclue, puisque 3^{2x} = \exp(2x\ln(3)) > 0 comme toutes les valeurs de l'exponentielle.

Ton équation est finalement équivalente à \exp(2x\ln(3)) = 2, ce qui a un sens pour tout x réel.
L'unique solution réelle (par injectivité de la fonction exp) est trouvable en appliquant simplement une fois (et pas deux) la fonction logarithme. C'est en effet \dfrac{\log_3(2)}{2}.

Tout le raisonnement est important, pas seulement le résultat

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Exponentielle et logarithme 30-09-24 à 18:33

Bonjour,
Dans son message,Raoulmarie s'étonnait que son résultat ne soit pas accepté comme exact.
Il ne me semble pas avoir sous entendu que seul le résultat était important.
Il a précisé "à résoudre dans IR".

Il serait intéressant de savoir qui est "on" dans "on m'a répondu que c'était faux comme résultat".

Posté par
Raoulmariere : Exponentielle et logarithme 30-09-24 à 19:05

Bonsoir,
Merci pour votre réponse. Cela correspond au résultat que j'ai trouvé x = 0,315.
"On" c'est un groupe de mathématique dont je suis membre et qui m'a répondu que ma solution n'était pas la bonne. En retour, on me précise que la bonne solution serait celle-ci mais j'ai un doute ; qu'en pensez-vous ?  (x ≈ 0.5246)
Voici la démon que l'on m'a transmise :
2^(3^(4^(x))) = 4^(3^(2^(x)))
3^(4^(x))ln(2) = 3^(2^(x))ln(4)
3^(4^(x)) / 3^(2^(x)) = ln(2²)/ln(2)
3^(4^x - 2^x) = 2ln(2)/2
3^(2^(2x) - 2^x) = 2
(2^(2x) - 2^x)ln(3) = ln(2)
((2^x)^2 - 2^x) = ln(2)/ln(3)
.
Posons y = 2^x (donc y positif)
y² - y = ln(2)/ln(3)
4y² - 4y = 4ln(2)/ln(3)
4y² - 4y + 1 = 4ln(2)/ln(3) + 1
(2y-1)² = 4ln(2)/ln(3) + 1
2y - 1 = sqrt(4ln(2)/ln(3) + 1)
y = (sqrt(4ln(2)/ln(3) + 1) + 1)/2
.
2^x = y
2^x = (sqrt(4ln(2)/ln(3) + 1) + 1)/2
xln(2) = ln((sqrt(4ln(2)/ln(3) + 1) + 1)/2)
x = ln((sqrt(4ln(2)/ln(3) + 1) + 1)/2)/ln(2)
SOLUTION : x = ln((sqrt(4ln(2)/ln(3) + 1) + 1)/2)/ln(2)
(x ≈ 0.5246)

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Exponentielle et logarithme 30-09-24 à 19:16

Et si tu nous disais comment tu trouves ta solution ?
Une remarque : les valeurs approchées ne sont pas très intéressantes.

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Exponentielle et logarithme 30-09-24 à 19:19

PS Nous sommes trois à être d'accord que ta solution \dfrac{\ln(2)}{2 \ln(3)} est bonne

Posté par
Raoulmariere : Exponentielle et logarithme 30-09-24 à 19:25

Bonsoir,
Comme ceci. Et en expliquant que si x > 1, il n'y a pas de solution à l'équation. La solution ce situe dans l'intervalle 0 < x < 1

Ma démonstration :
2^(3^(4x)) = 4^(3^(2x))
Simplification du côté droit
On réécrit 4 comme 2^2, ce qui nous donne :4^(3^(2x)) = (2^2)^(3^(2x)) = 2^(2 * 3^(2x))
l'équation devient :
2^(3^(4x)) = 2^(2 * 3^(2x))
Équation des exposants
les bases sont identiques, on peut égaler les exposants :
3^(4x) = 2 * 3^(2x)
Simplification
On divise les deux côtés de l'équation par 3^(2x) :
3^(4x - 2x) = 2
Ce qui donne :
3^(2x) = 2
Résolution pour x
Prenons le logarithme des deux côtés :
2x * ln(3) = ln(2)
On résout pour x :
x = ln(2) / (2 * ln(3))
La solution est donc :
x = ln(2) / (2 * ln(3))

Posté par
malou Webmasterre : Exponentielle et logarithme 30-09-24 à 19:52

Attention...il y a 2 équations de départ différentes
Vous ne résolvez pas la même...
Remets une capture d'écran de l'énoncé

Posté par
gts2re : Exponentielle et logarithme 30-09-24 à 19:53

Citation :
Ma démonstration : 2^{3^{4x}} = 4^{3^{2x}}

Citation :
Démonstration transmise 2^{3^(4^x)} = 4^{3^{2^x}}

Posté par
Raoulmariere : Exponentielle et logarithme 30-09-24 à 19:57

D'accord, mais vous l'aviez supprimé !
La revoici.

pdf
PDF - 45 Ko

Posté par
Ulmierere : Exponentielle et logarithme 30-09-24 à 20:06

La première ligne de la démonstration de ton groupe de maths

Citation :
2^(3^(4^(x))) = 4^(3^(2^(x)))


ne correspond pas à la question à laquelle nous avons répondu et qu tu as posée à 17h28. Je sentais bien qu'il y avait un truc comme ça

L'équation à résoudre est 2^{3^{4^x}} = 4^{3^{2^x}}
Le membre de droite est égal à 2^{2\times 3^{2^x}}
L'équation équivaut à 3^{4^x} = 2\times 3^{2^x}
qui équivaut à 3^{4^x - 2x} = 2
qui équivaut à 4^x - 2^x = \log_3(2)
qui équivaut à (2^x)^2 - 2^x = \log_3(2)

A nouveau, on a un trinôme du second degré, de discriminant 1  + 4\log_3(2) > 0
Dont les deux racines sont \dfrac{1 \pm \sqrt{1+ 4\log_3(2) }}{2}. Une seule est strictement positive, il faut exclure l'autre.

Notre équation initiale a pour unique solution réelle  \log_2\left[\dfrac{1 + \sqrt{1+ 4\log_3(2) }}{2}\right].

Si tu avais correctement recopié l'énoncé, on aurait gagné du temps

Posté par
Ulmierere : Exponentielle et logarithme 30-09-24 à 20:08

Petites coquilles, si un modérateur peut les corriger et supprimer le présent message rectificatif, ce serait sympa

* dans le premier "qui équivaut à", un 2x s'est glissé en exposant, ce devrait être un 2^x

* un espace en trop dans le discriminant avant le +

* oubli de balises tex pour les deux racines

désolé

Posté par
Raoulmariere : Exponentielle et logarithme 30-09-24 à 20:23

Bonsoir,
Je comprends pas bien votre réponse car c'est pour cette raison que je vous avais mis en PJ le pb d'origine à résoudre que vous avez supprimé. Ensuite, j'ai remis l'équation au format latex comme demandé : c'était pas le bon format ? Je vous redonne la PJ d'origine.
Je regrette ce malentendu si j'ai commis une erreur.
Cordialement.

pdf
PDF - 53 Ko

Posté par
malou Webmasterre : Exponentielle et logarithme 30-09-24 à 21:50

Raoulmarie dans le membre de gauche tu écris 4x alors que dans le pdf tu as 4^x

Idem dans le membre de droite
Toi tu écris 2x alors que tu devais écrire 2^x

Vois tu ?

Posté par
Raoulmariere : Exponentielle et logarithme 30-09-24 à 22:50

Bonsoir,
Oui, tout à fait.
Merci à vous.


Rechercher
Menu
Espace membre
Changer d'île

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1707 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !