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Niveau terminale
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Exponentielle et suite

Posté par
lmflavie
08-03-21 à 19:50

Bonsoir à tous, quelqu'un pourrait m'apporter son aide sur quelques questions de cet exercice :

I) On considère la fonction f définie sur I ) [0;1] par f(x) = (e^x -1)/(e^x -x)

1) a) Démontrer que pour tout x de I, f'(x) = h(x) / (e^x - x)²
où h est une fonction de l'on déterminera.
b) étudier les variation de h sur I et déduisez-en celles de f
c) Démontrer que pour tout x de I, f(x) appartient à I

II) On considère la suite Un définie par U0 = 1/2 et pour tout entier naturel n, Un+1 = f(Un)

1) Tracer la courbe d'équation y=x , et construisez sur l'axe des adscisses les premiers termes de la suite (Un). Quelle conjecture faites-vous quant à la convergence de (Un) ?
2) Démontrez que pour tout n de N : Un-1 <= (9/10)^n * (U0 -1)

Voilà si quelqu'un peut m'aider, Merci !

Posté par
hekla
re : Exponentielle et suite 08-03-21 à 20:17

Bonsoir

Que proposez-vous ?

Avez-vous calculé la fonction dérivée ?

Posté par
lmflavie
re : Exponentielle et suite 08-03-21 à 21:13

Pour la dérivée de f, j'ai trouvé :
(-xe^x+2e^x-1)/(e^x-x)²

Mais, enfaite c'est que je n'ai pas du tous compris ces questions-ci.

Posté par
hekla
re : Exponentielle et suite 08-03-21 à 21:31

Oui, mais on peut aussi l'écrire  f'(x)=\dfrac{(2-x)\text{e}^{x}-1}{(\text{e}^x-x)^2}


donc on pose h(x)= (2-x)\text{e}^{x}-1

on vous demande d'étudier cette fonction  sens de variation  

Pour quelle valeur a-t-on h(x)=0 et le signe de h(x)

Tout cela pour pouvoir étudier le sens de variation de f, car alors on aura le signe de la dérivée

Posté par
lmflavie
re : Exponentielle et suite 08-03-21 à 22:04

Voici le tableau de variation pour h et f : (ce que j'ai trouvé)

x          0                                                           1
h'(x)   1                          +                              0
h          1                   croissant
f'(x)    1                                 +
f            0                  croissant                    1

Normalement la question 1c, je l'ai comprise :  f(0) = 0 ; f(1) = 1 ; et f est croissante sur I
Donc sur I, f(x) appartient à I

Ainsi pour la partie II, j'ai réussi à tracer la courbe mais ne comprend pas trop la question... Et la question 2 du II, aussi, je ne comprend pas du tout, si je pourrais avoir quelques aides...

Merci à vous !

Posté par
hekla
re : Exponentielle et suite 08-03-21 à 22:31

tableau de variation

Exponentielle et suite

f(1)=1\quad f(0)=0 ; f continue strictement croissante  sur I

Exponentielle et suite
on a u_0=1/2   on trouve la valeur de  u_1 en prenant l(ordonnée du point de la courbe d'abscisse 1   u_1=f(u_0)  on projette sur la droite  y=x   on a donc bien pour abscisse u_1  et on recommence

Posté par
lmflavie
re : Exponentielle et suite 08-03-21 à 22:40

Désolé, je n'ai pas compris votre explication...

Posté par
hekla
re : Exponentielle et suite 08-03-21 à 22:52

Je n'ai placé que les cinq premières valeurs de la suite

La projection sur la droite va permettre d'échanger les y en x

premier point u_0=1/2 Pour le deuxièm point  on a besoin de f(1/2)

cette valeur on va la trouver sur la courbe représentative de f(1/2)  soit  u_1  en traçant la parallèle à l'axe
des abscisses par ce point  on va trouver le point de coordonnées (u_1 ,u_1) on va donc pouvoir trouver u_2
puisque ce sera le point de la courbe d'abscisse u_1

Posté par
lmflavie
re : Exponentielle et suite 08-03-21 à 23:04

D'accord, merci beaucoup !

Un-1 <= (9/10)n*(U0-1), pour cette question-ci, je dois utiliser la récurrence ou une autre méthode sinon?

Posté par
hekla
re : Exponentielle et suite 08-03-21 à 23:14

Le texte, c'est bien  u_{n-1}\leqslant \left(\dfrac{9}{10}\right)^n(u_0-1)

N'y a-t-il pas un problème puisque u_{n-1} >0, or u_0-1 est négatif  ?

Désolé pour les fautes du message précédent

Posté par
lmflavie
re : Exponentielle et suite 08-03-21 à 23:19

Un-1<= (9/10)n*(U0-1)

Le -1 n'est pas associé avec le n du u...

Posté par
hekla
re : Exponentielle et suite 08-03-21 à 23:35

Dit autrement  u_n -1\leqslant  \left(\dfrac{9}{10}\right)^n (u_0-1), mais alors pourquoi ne pas écrire -\dfrac{1}{2}

Posté par
lmflavie
re : Exponentielle et suite 08-03-21 à 23:42

Oui, on peut écrire -1/2, ça ne change rien, c'est juste l'énoncé de l'exercice qui était écris comme ça. Mais comment je démontre que pour tout n de N cela montre cette formule ???

Posté par
hekla
re : Exponentielle et suite 09-03-21 à 00:04

Pour l'instant je ne vois pas

Posté par
carpediem
re : Exponentielle et suite 09-03-21 à 09:01

salut

commencer par montrer que u_{n + 1}- 1 = f(u_n) - f(1) \le \dfrac 9 {10} (u_n - 1)

éventuellement avec des valeurs absolues si pb de signe ...

Posté par
hekla
re : Exponentielle et suite 09-03-21 à 09:57

u_{n+1}-1=f(u_n)-f(1)=\dfrac{\text{e}^{u_n}-1}{\text{e}^{u_n}-u_n}-\dfrac{\text{e}^{u_n}-u_n}{\text{e}^{u_n}-u_n}=\dfrac{\text{e}^{u_n}-1-(\text{e}^{u_n}-u_n)}{\text{e}^{u_n}-u_n}=\dfrac{u_n-1}{\text{e}^{u_n}-u_n}

u_{n+1}-1=\dfrac{1}{\text{e}^{u_n}-u_n}(u_n-1)

Il faudrait montrer que  \dfrac{1}{\text{e}^{u_n}-u_n}\leqslant \dfrac{9}{10}

ensuite c'est presque fini

Posté par
carpediem
re : Exponentielle et suite 09-03-21 à 10:00

oui et plus généralement derrière il y a le TAF ou encore : la dérivée est bornée par 9/10 sur l'intervalle considéré

maintenant à voir ce qui à été vu en terminale ...

Posté par
hekla
re : Exponentielle et suite 09-03-21 à 10:14

Qu'est-ce que le TAF ?  bornée ce n'est pas plutôt majorée ?

Posté par
carpediem
re : Exponentielle et suite 09-03-21 à 19:59

théorème des accroissements finis ...

majorée ne suffit pas si la dérivée est négative ...

bon ici d'après ton graphique ce serait suffisant ...

Posté par
hekla
re : Exponentielle et suite 09-03-21 à 20:45

Je ne l'ai pas utilisé depuis des lustres et je ne m'en souviens plus

Posté par
co11
re : Exponentielle et suite 10-03-21 à 21:36

Bonsoir vous tous,

je ne suis pas sûre que le TAF soit au programme de terminale........

Mais, j'en reviens à ton message de ce matin hekla
En considérant l'intervalle J = [1/2 ; 1] , on peut montrer que :
pour tout x J, f(x) J et aussi que 0,5 1/(ex - x) 0,9

J'espère que je ne me suis pas trompée dans mes calculs

Posté par
co11
re : Exponentielle et suite 10-03-21 à 21:49

Quant à l'inégalité demandée :

Citation :
2) Démontrez que pour tout n de N : Un-1 <= (9/10)^n * (U0 -1)

Il serait préférable de demander de montrer que 0 1 - Un (9/10)n ( 1 -U0 )
Et effectivement 1 - U0 vaut 1/2

Posté par
co11
re : Exponentielle et suite 10-03-21 à 21:53

Citation :
Mais, j'en reviens à ton message de ce matin hekla

Ah non, c'était hier matin ....

Posté par
carpediem
re : Exponentielle et suite 11-03-21 à 08:41

co11 : au fond du fond c'est bien appliquer le TAF ... avec les moyens du bord !!! donc sans connaitre le TAF c'est à dire par encadrement et inégalités pour montrer ce que tu dis ...

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Exponentielle et suite 12-03-21 à 10:57

Bonjour,
TAF ou pas TAF, l'inégalité \; u_n -1\leqslant  \left(\dfrac{9}{10}\right)^n (u_0-1) \; est fausse sans les valeurs absolues.

Posté par
carpediem
re : Exponentielle et suite 12-03-21 à 17:30

oui c'est pourquoi je disais

carpediem @ 09-03-2021 à 09:01

commencer par montrer que u_{n + 1}- 1 = f(u_n) - f(1) \le \dfrac 9 {10} (u_n - 1) et ça c'est le TAF ... même si on ne le connait pas

éventuellement avec des valeurs absolues si pb de signe ...


Posté par
carpediem
re : Exponentielle et suite 12-03-21 à 17:31

puisque [f(u_n) - 1]/(u_n - 1) est la pente de la droite passant par ...

Posté par
co11
re : Exponentielle et suite 13-03-21 à 21:46

Oui Sylvieg, c'est pourquoi j'avais plutôt proposé 1 - Un......
A part ça, espérons que Imflavie s'y retrouvera ..... pas sûr, on n'a pas trop de nouvelles



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