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Exponentielle et suite
Bonsoir à tous, quelqu'un pourrait m'apporter son aide sur quelques questions de cet exercice :
I) On considère la fonction f définie sur I ) [0;1] par f(x) = (e^x -1)/(e^x -x)
1) a) Démontrer que pour tout x de I, f'(x) = h(x) / (e^x - x)²
où h est une fonction de l'on déterminera.
b) étudier les variation de h sur I et déduisez-en celles de f
c) Démontrer que pour tout x de I, f(x) appartient à I
II) On considère la suite Un définie par U0 = 1/2 et pour tout entier naturel n, Un+1 = f(Un)
1) Tracer la courbe d'équation y=x , et construisez sur l'axe des adscisses les premiers termes de la suite (Un). Quelle conjecture faites-vous quant à la convergence de (Un) ?
2) Démontrez que pour tout n de N : Un-1 <= (9/10)^n * (U0 -1)
Voilà si quelqu'un peut m'aider, Merci !
Pour la dérivée de f, j'ai trouvé :
(-xe^x+2e^x-1)/(e^x-x)²
Mais, enfaite c'est que je n'ai pas du tous compris ces questions-ci.
Oui, mais on peut aussi l'écrire
donc on pose
on vous demande d'étudier cette fonction sens de variation
Pour quelle valeur a-t-on et le signe de
Tout cela pour pouvoir étudier le sens de variation de , car alors on aura le signe de la dérivée
Voici le tableau de variation pour h et f : (ce que j'ai trouvé)
x 0 1
h'(x) 1 + 0
h 1 croissant
f'(x) 1 +
f 0 croissant 1
Normalement la question 1c, je l'ai comprise : f(0) = 0 ; f(1) = 1 ; et f est croissante sur I
Donc sur I, f(x) appartient à I
Ainsi pour la partie II, j'ai réussi à tracer la courbe mais ne comprend pas trop la question... Et la question 2 du II, aussi, je ne comprend pas du tout, si je pourrais avoir quelques aides...
Merci à vous !
tableau de variation
;
continue strictement croissante sur I
on a on trouve la valeur de
en prenant l(ordonnée du point de la courbe d'abscisse 1
on projette sur la droite
on a donc bien pour abscisse
et on recommence
Je n'ai placé que les cinq premières valeurs de la suite
La projection sur la droite va permettre d'échanger les en
premier point Pour le deuxièm point on a besoin de
cette valeur on va la trouver sur la courbe représentative de soit
en traçant la parallèle à l'axe
des abscisses par ce point on va trouver le point de coordonnées on va donc pouvoir trouver
puisque ce sera le point de la courbe d'abscisse
D'accord, merci beaucoup !
Un-1 <= (9/10)n*(U0-1), pour cette question-ci, je dois utiliser la récurrence ou une autre méthode sinon?
Le texte, c'est bien
N'y a-t-il pas un problème puisque , or
est négatif ?
Désolé pour les fautes du message précédent
Oui, on peut écrire -1/2, ça ne change rien, c'est juste l'énoncé de l'exercice qui était écris comme ça. Mais comment je démontre que pour tout n de N cela montre cette formule ???
oui et plus généralement derrière il y a le TAF ou encore : la dérivée est bornée par 9/10 sur l'intervalle considéré
maintenant à voir ce qui à été vu en terminale ...
théorème des accroissements finis ...
majorée ne suffit pas si la dérivée est négative ...
bon ici d'après ton graphique ce serait suffisant ...
Bonsoir vous tous,
je ne suis pas sûre que le TAF soit au programme de terminale........
Mais, j'en reviens à ton message de ce matin hekla
En considérant l'intervalle J = [1/2 ; 1] , on peut montrer que :
pour tout x 
J, f(x) J et aussi que 0,5 
1/(ex - x) 0,9
J'espère que je ne me suis pas trompée dans mes calculs
Quant à l'inégalité demandée :
2) Démontrez que pour tout n de N : Un-1 <= (9/10)^n * (U0 -1)
Il serait préférable de demander de montrer que 0
1 - Un (9/10)n
( 1 -U0 )
Et effectivement 1 - U0 vaut 1/2
co11 : au fond du fond c'est bien appliquer le TAF ... avec les moyens du bord !!! donc sans connaitre le TAF c'est à dire par encadrement et inégalités pour montrer ce que tu dis ...
oui c'est pourquoi je disais
commencer par montrer que
éventuellement avec des valeurs absolues si pb de signe ...
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