Exposé 73 : f(x+y)=f(x)*f(y)

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Exposé 73 : f(x+y)=f(x)*f(y)
Posté par 
Gui91  10-07-08 à 17:29
Bonjour!

Je continue toujours de travailler l'oral du capes et je me suis posé une question concernant la leçon sur les solutions de l'équation fonctionnelle :

(E) : f(x+y)=f(x)*f(y) pour x et y réels.

On sait que si f est solution non nulle de (E) :

(i) f(0)=1

(ii) si on pose a=f(1)>0, on a pour tout rationnel r f(r)=a^r

(iii)Si f continue en un pt alors elle est continue partout.

Du coup, on sait que si on suppose f continue alors pour tout réel x, f(x)=a^x.

Mais, existe-il des solutions de (E) non continues (nullepart) et si oui connaissez-vous un exemple?  
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Epicurienre : Exposé 73 : f(x+y)=f(x)*f(y)  10-07-08 à 21:27
Bonjour,  

Peut être je vais dire des bêtises , mais il me semble que les solutions de l'équation fonctionnelle f(x+y)=f(x)f(y) sont uniquement les fonctions exponentielle 

A confirmer. 
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infophilere : Exposé 73 : f(x+y)=f(x)*f(y)  10-07-08 à 21:30
Kuid > Si f est supposée continue 

Gui en recherche justement des non continues.
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infophilere : Exposé 73 : f(x+y)=f(x)*f(y)  10-07-08 à 21:34
La fonction définie par f(x)=1 si x rationnel et f(x)=0 si x irrationnel vérifie bien f(x+y)=f(x)f(y) non ?

A confirmer 
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infophilere : Exposé 73 : f(x+y)=f(x)*f(y)  10-07-08 à 21:35
PS : Il s'agit de la fonction de Dirichlet qui est partout discontinue.
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Epicurienre : Exposé 73 : f(x+y)=f(x)*f(y)  10-07-08 à 21:35
Salut Kévin 

Ah ok , au temps pour moi , je m'eclipse  
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infophilere : Exposé 73 : f(x+y)=f(x)*f(y)  10-07-08 à 21:42
Pas grave, ça m'arrive souvent de lire de travers 

Bonne soirée 
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tealcre : Exposé 73 : f(x+y)=f(x)*f(y)  10-07-08 à 22:18
salut,

 pas tout à fait Kévin, puisque  dans ton cas

mais dans tous les cas, il faut chercher une fonction continue en aucun point ...
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Gui91re : Exposé 73 : f(x+y)=f(x)*f(y)  10-07-08 à 22:24
Bonsoir!

désolé je suis un peu long à la détente.

Il me semble que la fonction de Dirichlet ne va pas marcher ici:

f(2-2)=f(2)*f(-2)=0

or f(0)=1

sauf erreur.

Le mystère reste entier...

De toute manière je pense pas que c'est le genre de question que le jury va poser sur cet exposé du capes.
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Gui91re : Exposé 73 : f(x+y)=f(x)*f(y)  10-07-08 à 22:27
je vais voir sur internet si je trouve pas des indices.
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infophilere : Exposé 73 : f(x+y)=f(x)*f(y)  10-07-08 à 22:36
J'y ai pensé après avoir posté, avec le même contre exemple en tête en plus 

Merci tealc  tu as une idée de fonction ?
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Gui91re : Exposé 73 : f(x+y)=f(x)*f(y)  10-07-08 à 22:39
Apparemment j'ai trouvé un truc que j'ai un peu de mal à comprendre :

Soit E un supplémentaire de  dans  vu comme -espace vectoriel. On considère la projection p: parallélement à E qui est linéaire ( p(x+y)=p(x)+p(y)) mais pas continue. 

exp o p verifie donc (E) et n'est pas continue.

A quoi ca ressemble ce p ? aucune idée...
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Gui91re : Exposé 73 : f(x+y)=f(x)*f(y)  10-07-08 à 22:39
j'ai trouvé sur les mathématiques.net
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Fractalre : Exposé 73 : f(x+y)=f(x)*f(y)  11-07-08 à 12:57
Bonjour 

Citation :
A quoi ca ressemble ce p ? aucune idée...

Des solutions continues existent... mais nécessitent absolument l'axiome du choix, en d'autres termes tu n'as aucune chance de voir à quoi elles ressemblent puisqu'elles n'existent même pas si tu refuses l'axiome du choix.

Regarde ici ->  Fonction de graphe dense dans R², c'est un défi que j'avais posé qui consiste à montrer qu'une fonction non continue vérifiant f(x+y) = f(x) + f(y)  (son exponentielle vérifiera alors ton équation) est de graphe dense dans , ce qui est relativement difficile à dessiner 

Fractal 
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ottore : Exposé 73 : f(x+y)=f(x)*f(y)  11-07-08 à 20:47
Il est même impossible de trouver des fonctions de ce genre qui soient mesurables et différentes d'une exponentielle...
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Gui91re : Exposé 73 : f(x+y)=f(x)*f(y)  13-07-08 à 16:40
Bonjour!

Ca a l'air compliqué tout ca...

Est ce que vous connaissez une base du Q-espace vectoriel IR?

En tout cas, ça a tout l'air d'être un ev de dimension infini, non?
  Posté par 
Camélia re : Exposé 73 : f(x+y)=f(x)*f(y)  13-07-08 à 17:12
Bonjour

Toujours le même problème. L'axiome du choix assure l'existence d'une base du Q-espace vectoriel R, mais on n'a aucune chance d'en exhiber une. Une telle base est non seulement infinie, mais non-dénombrable, sinon, comme Q est dénombrable, R le serait aussi!