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expression analytique d'une symétrie

Posté par
Tiantio 10-02-23 à 20:25

Bonjour à tous

Exo : Soit \sigma la symétrie de \mathbb{R}^{2} par rapport à la droite  D : x=2y à la droite D': y=-x. Soit s l'application affine \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R} de partie linéaire \sigma et fixant le point x=(1,1). Donner une expression en coordonnées pour s.

Voici ce que j'aie fait :  (-1,1) un vecteur directeur de  D'.
Soit M'(x',y') tel que M'=s(M)=M +\lambda(-1,1) et j'utilise que \frac{1}{2}(M'+M) est dans D.

Je voudrais savoir si c'est bon. Merci pour vos réponses

Posté par
carpediemre : expression analytique d'une symétrie 10-02-23 à 20:35

salut

pourquoi ne mènes-tu pas les calculs jusqu'au bout puis ensuite tu vérifies avec par exemple les points M = (1, -1) ou M = (1, 2) ?

si ça ne marche pas alors il y a erreur et si ça marche tu as de forte chance d'avoir bon !!!

PS : la phrase

Tiantio @ 10-02-2023 à 20:25

Soit \sigma la symétrie de \mathbb{R}^{2} par rapport à la droite  D : x=2y à la droite D': y=-x.
n'est pas très claire ...

Posté par
Tiantiore : expression analytique d'une symétrie 10-02-23 à 20:46

J'ai fait les calculs mais c'est faux s(1,1)\neq(1,1)

concernant l'énoncé, je suis désolé mais on nous a donnés comme ça.

Posté par
lafol Moderateurre : expression analytique d'une symétrie 10-02-23 à 21:41

Bonsoir
il manque le mot "parallèlement" quelque part dans la fameuse phrase pas très claire ...

dans ce que tu as fait, je ne vois pas trace du point qui doit être fixé ... n'aurais-tu pas cherché à traduire seulement la partie linéaire ?

Posté par
Tiantiore : expression analytique d'une symétrie 10-02-23 à 21:44

Oui, c'est vrai j'ai carrément oublié en saisissant, désolé

Je voudrais savoir comment l'insérer ca dans ma formule (le point fixe)

Posté par
lafol Moderateurre : expression analytique d'une symétrie 10-02-23 à 22:01

ton milieu de [MM'] qui est un point ne peut pas être dans D qui est une droite vectorielle ... si tu appelles I ce milieu et F le point qui doit rester fixe (pas très adroit de l'appeler x dans l'énoncé, soit dit en passant), c'est \vec{FI} qui doit être dans D

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : expression analytique d'une symétrie 10-02-23 à 22:42

Bonsoir

En s'aidant d'une figure on voit assez facilement que la matrice de \sigma dans la base canonique de \mathbb R^2 est \Large\boxed{A=\frac{1}{3}\left[\begin{array}{cc}1&4\\2&-1\end{array}\right]}


d'où l'expression en coordonnées de s, \Large\boxed{s:M(x,y)\mapsto M'(x',y')~~;~~\left\lbrace\begin{array}l x'=\frac{x+4y}{3}+a\\y'=\frac{2x-y}{3}+b\end{array}}


où les deux réels a et b se calculent par la condition \Large\boxed{s(1,1)=(1,1)} sauf erreur de ma part bien entendu

Posté par
Tiantiore : expression analytique d'une symétrie 10-02-23 à 22:43

je trouve : \left\lbrace\begin{matrix} x'=-\frac{2}{3}+\frac{1}{3}x-\frac{4}{3}y\\ \\ y'=\frac{2}{3}+\frac{2}{3}x-\frac{1}{3}y \end{matrix}\right.

Merci pour vos conseils

Posté par
lafol Moderateurre : expression analytique d'une symétrie 10-02-23 à 23:47

je trouve comme toi

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : expression analytique d'une symétrie 11-02-23 à 12:30

Plutôt \left\lbrace\begin{matrix} x'=-\frac{2}{3}+\frac{1}{3}x+\frac{4}{3}y\\ \\ y'=\frac{2}{3}+\frac{2}{3}x-\frac{1}{3}y \end{matrix}\right.~~ non ?

Posté par
GBZMre : expression analytique d'une symétrie 11-02-23 à 14:56

Bonjour,
J'ajoute mon grain de sel  pour dire que la méthode employée par Tiantio :

Tiantio @ 10-02-2023 à 20:25


Soit M'(x',y') tel que M'=s(M)=M +\lambda(-1,1) et j'utilise que \frac{1}{2}(M'+M) est dans D.

est tout à fait adéquate, à un gros bémol près à la fin, et sans doute la plus rapide.  Pour simplifier les calculs, on peut écrire le milieu I de M et s(M) sous la forme (x+t,y-t). Il reste ensuite à dire que le vecteur d'estrémités (1,1) et I appartient à D : x+t-1=2(y-t-1) pour obtenir t=\dfrac{2y-x-1}3 et donc s(M)=(x+2t,y-2t)=\left(\dfrac{x}3+\dfrac{4y}3-\dfrac23,\, \dfrac{2x}3-\dfrac{y}3+\dfrac23\right)

Posté par
Tiantiore : expression analytique d'une symétrie 11-02-23 à 17:14

Vous avez raison @Elhor, c'est une erreur de ma part.
Merci pour tous vos conseils

Svp monsieur @GBZM, pourquoi I milieu de Ms(M) peut s'écrire de cette façon :I(x-t,y+t) ?

Merci d'avance pour votre réponse

Posté par
Tiantiore : expression analytique d'une symétrie 11-02-23 à 17:19

I(x+t,y-t)

Posté par
Tiantiore : expression analytique d'une symétrie 11-02-23 à 17:22

je pense avoir compris ( .... parallèlement à y=-x)

Posté par
GBZMre : expression analytique d'une symétrie 11-02-23 à 23:16

Oui, c'est ça.

Posté par
lafol Moderateurre : expression analytique d'une symétrie 13-02-23 à 19:22

Effectivement, j'avais lu trop vite ce qu'a trouvé tantio, j'avais aussi le +4/3y (en faisant comme lui, moi c'est s(M) que j'avais sous la forme (x+k,y-k), puis un calcul de déterminant pour dire que \vec{FI} et (2,1) doivent être colinéaires, l'amélioration de GBZM m'aurait évité les demis qui traînent)


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