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Niveau Maths sup
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expression d'un vecteur dans une bon

Posté par
Yosh2
12-07-21 à 13:00

soit E un ev de dim 2, et B=(u, w) une bon , v un vecteur unitaire de E, pouvez vous m'aider a montrer analytiquement que v = cos(a)u + sin(a)w avec a l'angle entre v et u, je sais que dans une bon on a v = (v|u)u + (v|w)w tout fois je ne sais pas trop coment faire apparaitre le cos , (c'est dans le cours sur les espaces euclidiens donc je possede pas encore la formule (u|v) = ||v|| ||u|| cos(a) )
merci a vous

Posté par
carpediem
re : expression d'un vecteur dans une bon 12-07-21 à 14:38

salut

je ne comprends pas ce que tu veux dire par "démonter analytiquement" ...

et je ne comprends pas comment on peut être aussi déstructuré dans l'énoncé pour ne pas prendre (u, v) pour la base (en considérant naturellement l'ordre alphabétique appris en primaire) ...

si (u, v) est une b.o.n. et w = u cos (a) + v sin (a)

on a :

u . w =
v . w = ...

ensuite un petit dessin te montre un beau triangle rectangle, ce qui te permet de conclure immédiatement ...

en remarquant que w = u cos (a) + v sin (a) = u cos (a) + v cos (/2 - a) ...

Posté par
Yosh2
re : expression d'un vecteur dans une bon 12-07-21 à 15:13

bonjour
pour l'expression de la matrice d'une rotation en dimension 2 on peut la montrer géométriquement en faisant des projections , et on peut aussi la montrer algébriquement ( et non pas analytiquement autant pour moi ) en étudiant la matrice ,en calculant son déterminant , en utilisant l'orthogonalité de ses colonnes et puis en résolvant des équations de la forme a2 + b2 = 1 , d'ou l'apparition du cos et du sin , je me demande alors si c'est aussi faisable pour ma question precedente .
merci

Posté par
carpediem
re : expression d'un vecteur dans une bon 12-07-21 à 15:40

je ne comprends pas trop ... mais tout cela provient simplement de la définition du produit scalaire intimement lié à la notion de projection orthogonale :

le projeté orthogonal du vecteur w sur le vecteur unitaire u est (u . w) u tout simplement ...



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