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expression d une fonction (chapitre sur les dérivées)

Posté par tomm-bou (invité) 05-02-05 à 18:21

salut tout le monde !
voila mon problème, f(x)=\frac{-2x^3+3x^2-3}{x^2-1}, définie sur -{-1;1}
question : "Déterminer les réels a, b, et c tels que f(x)=ax+b+\frac{cx}{x^2-1}.
j'ai fait des essais en partant de l'expression de f(x) et en factorisant, simplifiant, etc... mais je n'arrive pas à l'exprimer comme il est demandé.
en factorisant au numérateur j'ai 3x²-3=3(x²-1) donc je peux simplifier et obtenir f(x)=\frac{-2x^3}{x^2-1}+3
je pense que c'est une début (?? quoique.. !)... mais ensuite ?
merci à tous pour votre aide
tomm-bou

Posté par dolphie (invité)re : expression d une fonction (chapitre sur les dérivées) 05-02-05 à 18:29

Le plus simple c'est de partir de l'expression attendue et de la mettre au même dénominateur:

f(x)=ax+b+\frac{cx}{x^2-1}
f(x)=\frac{ax(x^2-1)+b(x^2-1)+cx}{x^2-1}
f(x)=\frac{ax^3-ax+bx^2-b+cx}{x^2-1}
f(x)=\frac{ax^3+bx^2+(c-a)x-b}{x^2-1}
On identifie alors les coefficients du polynôme du numérateur avec ceux de f:
a = -2
b = 3
c-a = 0
-b = -3

soit a= -2 b =3 et c = -2.

Soit: f(x)=-2x+3+\frac{-2x}{x^2-1}

autre méthode:
factoriser le polynôme du numérateur par x^2-1, pour diminuer le degré.
-2x^3+3x^2-3 = (x^2-1)[-2x+3]-2x.

Posté par tomm-bou (invité)re : 05-02-05 à 18:31

aaaaaaaaa !!! en effet !! merci beaucoup dolphie !
a++

Posté par
Nightmarere : expression d une fonction (chapitre sur les dérivées) 05-02-05 à 18:32

Bonjour

Voici comment procéder :
\rm \begin{tabular} -2x^{3}+3x^{2}-3&=&-2x(x^{2}-1)-2x+3x^{2}-3\\&=&-2x(x^{2}-1)+3x^{2}-2x-3\\&=&-2x(x^{2}-1)+3(x^{2}-1)-2x+3-3\\&=&-2x(x^{2}+1)+3(x^{2}-1)-2x\end{tabular}

On en déduit :
\rm \begin{tabular} f(x)&=&\frac{-2x(x^{2}+1)+3(x^{2}-1)-2x}{x^{2}-1}\\&=&\frac{-2x(x^{2}-1)}{x^{2}-1}+\frac{3(x^{2}-1)}{x^{2}-1}-\frac{2x}{x^{2}+1}\\&=&-2x+3-\frac{2x}{x^{2}+1}\end{tabular}


Jord

Posté par
Nightmarere : expression d une fonction (chapitre sur les dérivées) 05-02-05 à 18:33

Oups en retard

Au moin tu peux voir deux façons de procéder .


Jord

Posté par
Nightmarere : expression d une fonction (chapitre sur les dérivées) 05-02-05 à 18:35

Petite erreur dans la premiére ligne du deuxiéme tableau , c'est : -2x(x^{2}-1)


Jord

Posté par tomm-bou (invité)re : 05-02-05 à 18:43

merci à vous. j'ai bien compris les deux méthodes (je voyais pas la factorisation)

Posté par
Nightmarere : expression d une fonction (chapitre sur les dérivées) 05-02-05 à 18:54

de rien


jord


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