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Expressions suites géométriques

Posté par
azpo
24-10-21 à 21:25

Bonsoir, j'ai quelques lacunes au niveau des suites puisqu'apparemment on était censé les avoir vu en première. Je viens chercher de l'aide ici car je bloque depuis hier sur ces questions. Mon exercice traite de deux suite géométriques.

"U0 = 2
Un+1 = (1/4)Vn

V0 = 2
Vn+1 = (3/4)Un + (1/2)Vn

1)Démontrer que pour tout entier n, Un > 0 et Vn > 0

2)On considère la suite (S[/sub]n[/sub]) définie par Sn en fonction de n.

3)On considère la suite (qn) définie par qn = Un/Vn. Démontrer que pour tout entier n, qn+1 = 1/(3qn + 2)

4)On considère la suite (Wn) définie par Wn=(3qn - 1)/(qn + 1)
Montrer que (Wn) est une suite géométrique. Exprimer Sn en fonction de n

5)Montrer que qn = -[(Wn + 1)/(3 - Wn)]
En déduire une expression qn en fonction de n puis la limite de (qn)

6)Exprimer Un et Vn en fonction de n. Etudiez la convergence des suites (Un) et (Vn)."

Alors voilà ce que j'ai fait pour l'instant :
1)
Un > 0
Vn*(1/4) > 0*(1/4)
Un+1 > 0

Vn > 0
Un + Vn > 0
(3/4)Un + (1/2)Vn > 0
Vn+1 > 0

2)
Sn+1 = Un+1 + Vn+1
Sn+1 = (1/4)Vn + (3/4)Un + (1/2)Vn
Sn+1 = (3/4)Vn + (3/4)Un
Sn+1 = (3/4)(Vn+  Un)
Sn+1 = (3/4)Sn
Sn = S0*qn
Sn =4*(3/4)n

4), 5), 6): Je bloque totalement

Merci à ceux qui prendront le temps de répondre. C'est un peu compliqué au niveau des fractions sur PC, désolé j'espère que c'est pas trop brouillon.

Posté par
azerti75
re : Expressions suites géométriques 24-10-21 à 22:00

Bonsoir

azpo @ 24-10-2021 à 21:25



2)[/b]On considère la suite (S[/sub]n[/sub]) définie par Sn en fonction de n.



Merci de rectifier

Posté par
azerti75
re : Expressions suites géométriques 24-10-21 à 22:00

Pour la question 1, je n'ai absolument rien compris à ce que tu as fait.

Posté par
azpo
re : Expressions suites géométriques 24-10-21 à 22:02

Désolé j'ai oublié de noté mes avancés pour la 3), du coup je rajoute ça à la suite (et je viens de voir qu'on peut insérer des fractions, désolé pour l'énoncé las très lisible, je peux le réécrire correctement si ça dérange

3)
qn = \frac{Un}{Vn}
qn+1 = \frac{\frac{1}{4}Vn}{\frac{3}{4}Un+\frac{1}{2}Vn}
qn+1 = \frac{1Vn}{3Un+2Vn}
qn+1 = \frac{1}{3(\frac{Un}{Vn})+2}
qn+1 = \frac{1}{3qn+2}

Posté par
azpo
re : Expressions suites géométriques 24-10-21 à 22:05

Rectification de la 2)
On considère la suite (Sn) définie par Sn en fonction de n.

Et pour la 1 il me semble que si Un+1 > 0, (Un) > 0

Posté par
azpo
re : Expressions suites géométriques 24-10-21 à 22:08

J'suis vraiment tête en l'air, j'ai toujours pas rectifié la 2)

2) On considère la suite (Sn) définie par Sn = Un + Vn.
Montrer que la suite est une suite géométrique. Exprimer Sn en fonction de n.

Posté par
azerti75
re : Expressions suites géométriques 24-10-21 à 22:10

Tu dois démontrer que (Un) > 0
, tu ne peux donc pas l'affirmer au début de ta démonstration

Posté par
azerti75
re : Expressions suites géométriques 24-10-21 à 22:19

azpo @ 24-10-2021 à 21:25


Alors voilà ce que j'ai fait pour l'instant :
1)

Vn*(1/4) > 0*(1/4)


Pourquoi ?

Posté par
azpo
re : Expressions suites géométriques 24-10-21 à 22:19

azerti75 @ 24-10-2021 à 22:10

Tu dois démontrer que (Un) > 0
, tu ne peux donc pas l'affirmer au début de ta démonstration


Mais c'est ce qu'on fait avec la récurrence, non ?

Initialisation : Pour n = 0; U0 > 0 et donc 2 > 0

Hérédité : On suppose qu'il existe un entier k tel que Uk > 0
Montrons alors que Uk+1 est vrai, c'est-à-dire Uk+1>0

D'après l'hypothèse de récurence,
Uk > 0
Vn > 0
\frac{1}{4}Vn > 0
Vk+1 > 0

Sinon je peux aussi essayer de montrer que Uk+2>Uk+1. Puisque dans ce cas je montre que la suite est croissante, le premier terme étant U0 = 2; (Un) > U0 > 0

Posté par
azerti75
re : Expressions suites géométriques 24-10-21 à 22:20

azpo @ 24-10-2021 à 22:05


Et pour la 1 il me semble que si Un+1 > 0, (Un) > 0

Pourquoi ?

Posté par
azerti75
re : Expressions suites géométriques 24-10-21 à 22:24

Tu n'as pas du tout dit que tu faisais une démonstration par récurrence pour la 1ère question.
C'est donc un problème de rédaction.

Posté par
azpo
re : Expressions suites géométriques 24-10-21 à 22:29

azerti75 @ 24-10-2021 à 22:24

Tu n'as pas du tout dit que tu faisais une démonstration par récurrence pour la 1ère question.
C'est donc un problème de rédaction.

Oui tu a raison je n'ai fait que la partie "hérédité", je vais essayer d'être plus rigoureux dans mes rédactions, donc la 1) c'est bon si j'ai bien compris ?

Posté par
azpo
re : Expressions suites géométriques 24-10-21 à 22:30

Pour le 2) et la 3) aussi je pense avoir compris mais pour la 4) 5) 6) je bloque

Posté par
azerti75
re : Expressions suites géométriques 24-10-21 à 22:42

Pour la question 4, tu peux expliciter l'expression de w_{n +1}

Posté par
azerti75
re : Expressions suites géométriques 24-10-21 à 22:46

.... en utilisant la question 3

Posté par
azerti75
re : Expressions suites géométriques 24-10-21 à 22:55

Pour la question5, calcule : -[(Wn + 1)/(3 - Wn)]

Posté par
azerti75
re : Expressions suites géométriques 24-10-21 à 23:01

azpo @ 24-10-2021 à 22:29


Oui tu a raison je n'ai fait que la partie "hérédité", je vais essayer d'être plus rigoureux dans mes rédactions, donc la 1) c'est bon si j'ai bien compris ?


Pour l'instant, rédigé comme tu l'as fait à 22 heures 19, c'est encore faux  

Posté par
azpo
re : Expressions suites géométriques 24-10-21 à 23:17

azerti75 @ 24-10-2021 à 22:42

Pour la question 4, tu peux expliciter l'expression de w_{n +1}

C'est ce que j'avais essayé mais je fais juste n'importe quoi

Wn = \frac{3qn-1}{qn+1}

Wn+1 = \frac{3q_{n+1}-1}{q_{n+1}+1}


Wn+1 = \frac{3(\frac{1}{3qn+2})-1}{\frac{1}{3qn+2}+1}

Wn+1 = \frac{\frac{3}{3qn+2}-1}{\frac{1}{3qn+2}+1}

Wn+1 = \frac{\frac{3-(3qn+2)}{3qn+2}}{\frac{1+(3qn+2)}{3qn+2}}

Wn+1 = \frac{\frac{1-3qn}{3qn+2}}{\frac{3+3qn}{3qn+2}}

Wn+1 = \frac{1-3qn}{3qn+2} * \frac{3qn+2}{3qn+3}

Wn+1 = \frac{1-3qn}{3qn+3}

Là à la limite je peux mettre 3 en facteur mais bon

Wn+1 = \frac{1-3qn}{3(qn+1)}

Posté par
azerti75
re : Expressions suites géométriques 24-10-21 à 23:25

Parfait, ça ne ressemble pas à  w_ n par hasard ?

Posté par
azpo
re : Expressions suites géométriques 24-10-21 à 23:33

Je crois pas vu que
Wn = \frac{3q_{n}-1}{q_{n}+1}

et que là j'ai

Wn+1 = \frac{-3q_{n}+1}{3(q_{n}+1)}

Il n'y a que le dénominateur qui ressemble.

Posté par
azerti75
re : Expressions suites géométriques 24-10-21 à 23:35

Cherche encore

Posté par
azerti75
re : Expressions suites géométriques 24-10-21 à 23:44

Désolé je dois quitter.

Posté par
azpo
re : Expressions suites géométriques 24-10-21 à 23:52

Ah mais oui bien sûr,

Wn+1 = -\frac{1}{3}(W_{n})

W0 = 1, donc Wn = 1 * (-\frac{1}{3})^{n}

Maintenant (pour la 5)) il faut que j'arrive à montrer que

qn = \frac{(\frac{3q_{n}-1}{q_{n}+1})+1}{3-(\frac{3q_{n}-1}{q_{n}+1})}

Posté par
azerti75
re : Expressions suites géométriques 25-10-21 à 22:58

Alors as-tu trouvé la 5ème question ?

Posté par
azpo
re : Expressions suites géométriques 26-10-21 à 07:04

Pas vraiment non. Mais je ne suis pas sûr de ce que je fais non plus, est-ce que je devrais chercher que

qn = \huge -\frac{(\frac{3qn-1}{qn+1})+1}{3-(\frac{3qn-1}{qn+1})}


ou que

qn = \huge -\frac{(\frac{3(\frac{Un}{Vn})-1}{(\frac{Un}{Vn})+1})+1}{3-(\frac{3(\frac{Un}{Vn})-1}{(\frac{Un}{Vn})+1})}

ou bien encore si je dois tout développer en partant de qn+1

Posté par
azpo
re : Expressions suites géométriques 26-10-21 à 07:09

Tout développer de cette manière là:

\huge qn+1 = -\frac{(\frac{3(\frac{1}{3(\frac{Un}{Vn})+2})-1}{(\frac{1}{3(\frac{Un}{Vn})+2})+1})+1}{3-(\frac{3(\frac{1}{3(\frac{Un}{Vn})+2})-1}{(\frac{1}{3(\frac{Un}{Vn})+2})+1})}

Posté par
malou Webmaster
re : Expressions suites géométriques 26-10-21 à 08:38

Bonjour
dépannage en passant
non, c'est bien plus simple que tout ça
quand tu as ceci
Wn=(3qn - 1)/(qn + 1)

c'est comme si tu avais b=(3a-1)/(a+1)
eh bien tu peux tirer a en fonction de b (produit en croix, etc)

c'est la même chose ici avec tes suites

Posté par
azpo
re : Expressions suites géométriques 26-10-21 à 11:30

si qn = a, et Wn = b,

b = (3a-1)/(a+1)

mais du coup comment j'isole a ?

Posté par
malou Webmaster
re : Expressions suites géométriques 26-10-21 à 11:44

je l'ai dit...
produit en croix
développer
regrouper ce qui contient a dans un seul membre
et terminer proprement

Posté par
azpo
re : Expressions suites géométriques 26-10-21 à 12:02

donc 3a-1 = b/a+1 ?

Posté par
malou Webmaster
re : Expressions suites géométriques 26-10-21 à 12:20

sous réserve d'existence

\dfrac x y = \dfrac z t donne x\,t=z\,y non ?
tu as appris à faire ça au collège

Posté par
azpo
re : Expressions suites géométriques 26-10-21 à 12:40

ah donc
3a-1=b(a+1)
3a-1=ba+b

et si j'essaye de regrouper ce qui contient a

3a-ba=b+1

Posté par
malou Webmaster
re : Expressions suites géométriques 26-10-21 à 14:46

oui, factorise par a dans le membre de gauche

Posté par
azpo
re : Expressions suites géométriques 26-10-21 à 19:16

Ce qui donne
a(a-1/a)=ba+b
a=\frac{ba+b}{3-\frac{1}{a}}

ça commence à un peu ressembler à qn

Posté par
azpo
re : Expressions suites géométriques 26-10-21 à 19:35

je peux essayer de factoriser le numérateur

a = \frac{b(a+1)}{3-\frac{1}{a}}

j'ai bien 3 et -1 mais je n'arrive pas à repérer Wn

Posté par
malou Webmaster
re : Expressions suites géométriques 26-10-21 à 19:45

3a-ba=b+1

malou @ 26-10-2021 à 14:46

oui, factorise par a dans le membre de gauche

Posté par
azpo
re : Expressions suites géométriques 26-10-21 à 20:10

Je me suis embrouillé pour rien avec la mauvaise formule, j'espère que c'est la fatigue sinon je pense que c'est simplement mes neurones qui se comptent sur les doigts d'une main.

donc a(3-b) = b+1
a = \frac{b+1}{3-b}
mais le signe de la fraction n'est pas le bon

Posté par
azpo
re : Expressions suites géométriques 28-10-21 à 19:58

Du coup pour la 5) ?

Posté par
malou Webmaster
re : Expressions suites géométriques 28-10-21 à 20:03

oui, je pense que le signe que tu as trouvé est OK, voir l'énoncé (erreur ? )

ensuite à la question 4, tu as montré que (wn) était géométrique
donc tu as une formule pour exprimer wn en fonction de n

et tu remplaces dans qn trouvé à la question 5

Posté par
azpo
re : Expressions suites géométriques 28-10-21 à 20:37

oui, déjà fait:

qn = -\frac{(-\frac{1}{3})^{n}+1}{3-(-\frac{1}{3})^{n}}

Pour ce qui est de la limite :

\lim (-\frac{1}{3})^{n}+1 = 1

\lim 3-(-\frac{1}{3})^{n} = 3

\lim q_{n} = lim -\frac{1}{3} = -\frac{1}{3}


Pour la 6), de la même manière,

Un = qn*Vn

Un = \frac{-(-\frac{1}{3})^{n}*Vn + Vn}{3-(-\frac{1}{3})^{n}}

Cette formule semble fonctionner pour U0

Vn = Un/qn

Vn = \frac{Un}{2(-\frac{1}{3})^{n}-(-\frac{1}{3})^{2n}+3}

De même, cela semble fonctionner pour V0


Pour ce qui est des limites de ces deux suites :


\lim(-\frac{1}{3})^{n}Vn+Vn = Vn

\lim3-(-\frac{1}{3})^{n} = 3

\lim Un = \lim\frac{Vn}{3} = \frac{Vn}{3}


\lim2(-\frac{1}{3})^{n}-(-\frac{1}{3})^{2n} +3 = 3

\lim Vn = \lim\frac{Un}{3} = \frac{Un}{3}



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