[expresso]_JFF_borneo = (moomin+1)/kevin + (kevin+1)/moomin

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[expresso]_JFF_borneo = (moomin+1)/kevin + (kevin+1)/moomin
Posté par 
mikayaou  06-04-07 à 20:05
Bonjour

Moomin et kévin ont décidé de trouver les entiers m et k tels que le nombre borneo, b, défini par :

         b = (m+1)/k + (k+1)/m 

soit entier.

borneo, qui passait par là, leur dit qu'il y a une infinité de couples (m,k) mais qu'elle ne peut pas valoir une infinité de valeurs

Qu'en pensez-vous ?

Soyez joueur en vous assurant que vous répondez bien en blanqué ( faites un Aperçu avant de poster )

 Posté par 
infophilere : [expresso]_JFF_borneo = (moomin+1)/kevin + (kevin+1)/moomin  06-04-07 à 20:14
Bonsoir mikayaou 

Citation :
borneo, qui passait par là, leur dit qu'il y a une infinité de couples (m,k) mais qu'elle ne peut pas valoir une infinité de valeurs

Qu'en pensez-vous ?

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J'en pense que des couples (m,k) il n'y en a qu'un 

Je vais chercher 
 Posté par 
moominre : [expresso]_JFF_borneo = (moomin+1)/kevin + (kevin+1)/moomin  06-04-07 à 20:18
Bonsoir mikayaou 

Tu as osé nous diviser ?  Pourquoi ? 

Tout à fait d'accord avec toi, Kévin, nous sommes uniques 
 Posté par 
_Estelle_re : [expresso]_JFF_borneo = (moomin+1)/kevin + (kevin+1)/moomin  06-04-07 à 20:21
Bonsoir 

Kévin & Moomin >> 
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Je pense que même s'il vous a séparé, il... non rien, il y a des enfants qui lisent  

Estelle 
 Posté par 
mikayaoure : [expresso]_JFF_borneo = (moomin+1)/kevin + (kevin+1)/moomin  06-04-07 à 21:06
tu as raison Estelle, pas de remarques désobligée 
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comme pour l'émission d'Anne Sinclair sept sur sept 

 Posté par 
mikayaoure : [expresso]_JFF_borneo = (moomin+1)/kevin + (kevin+1)/moomin  06-04-07 à 22:07
alors, personne n'est intéressé par :

Citation :

            b = (m+1)/k + (k+1)/m avec b, m et k entiers

que vaut b ?

 Posté par kuid312 (invité)re : [expresso]_JFF_borneo = (moomin+1)/kevin + (kevin+1)/moomin  06-04-07 à 22:21
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b=1 
 Posté par 
mikayaoure : [expresso]_JFF_borneo = (moomin+1)/kevin + (kevin+1)/moomin  06-04-07 à 22:25
je note kuid312 
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( avec quelles valeurs de m et k fais-tu b=1 ? )

 Posté par kuid312 (invité)re : [expresso]_JFF_borneo = (moomin+1)/kevin + (kevin+1)/moomin  06-04-07 à 22:31
Eh bien, 

je crois que je me suis trompé en fait, je revois mes calculs 

Kuider
 Posté par kuid312 (invité)re : [expresso]_JFF_borneo = (moomin+1)/kevin + (kevin+1)/moomin  06-04-07 à 22:36
Je séche  

Kuider
 Posté par 
mikayaoure : [expresso]_JFF_borneo = (moomin+1)/kevin + (kevin+1)/moomin  06-04-07 à 22:38
tu ne devrais pas être le seul, kuid 

 Posté par kuid312 (invité)re : [expresso]_JFF_borneo = (moomin+1)/kevin + (kevin+1)/moomin  06-04-07 à 22:41
un petit indice?
 Posté par 
smilre : [expresso]_JFF_borneo = (moomin+1)/kevin + (kevin+1)/moomin  06-04-07 à 22:50
bonsoir

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je trouve 3 et 4 comme valeurs de b, mais pour l'instant, je ne vois pas comment trouver une infinité de couples (m,k)
 Posté par 
mikayaoure : [expresso]_JFF_borneo = (moomin+1)/kevin + (kevin+1)/moomin  06-04-07 à 22:55
bonsoir smil, je note ta réponse (provisoire ?)... 

 Posté par 
plumemeteorere : [expresso]_JFF_borneo = (moomin+1)/kevin + (kevin+1)/moomin  06-04-07 à 23:41
bonsoir

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la condition est équivalente à m(m+1) + k(k+1) est divisible par k et m

m ou m+1 est divisible par k

k ou k+1 est divisible par m

|k| <= |m|+1

|m| <= |k|+1

|m|-1 <= |k| <= |m|+1 et |k|-1 <= |m| <= |m|+1

les valeurs absolues de k et de m sont égales ou diffèrent de 1

si elles sont égales

si k et m sont de même signe :

la condition devient 2m(m+1) est divisible par m²; 2m est divisible par m²; 2 est divisible par m

m = 1 ou 2 ou -1 ou -2

2/1 + 2/1 = 4 ou 3/2 + 3/2 = 3; 0/-1 + 0/-1 = 0; -1/-2 + -1/-2 = 1

si k et m sont opposés

m(m+1) + -m(-m+1) = m³+m+m³-m = 2m² est divisible par m²

tous les couples m et -m conviennent

(m+1)/-m + (-m+1)/m = (-m-1-m+1)/m = -2m/m = -2

si les valeurs absolues diffèrent de 1

si k et m sont de même signe

soit k = m+1

m(m+1) + (m+1)(m+2) = (m+1)(2m+2) qui doit être divisible par m et m+1; m+2 et donc 2 est divisible par m

m = 1 ou 2 ou -1 ou -2 (-1 est à rejeter car il entraînerait une division par zéro)

2/2 + 3/1 = 4; 3/3 + 4/2 = 3; -1/1 + 0/-2 = -1

si k et m sont de signes opposés et si le nombre positif (disons m) à la plus grande valeur absolue; k = -m+1

m(m+1) + (-m+1)(-m+2) = m²+m+m²-3m+2 = 2m²-2m+2 doit être divisible par m et m-1 donc par m²-m; 2 est divisible par m²-m

seule solution possible : m = 2

3/-1 + 0/-2 = -3

si k et m sont de signes opposés et si le nombre positif (disons m) à la plus petite valeur absolue; k = -m-1

m(m+1) + -m(-m-1) = 2m(m+1) doit être divisible par m et -m-1, ce qui est toujours vrai

(m+1)/(m-1) + -m/m = -2

quelques couples (m;k) donnent une valeur particulière à b

il y a une infinité d'autres couples qui mènent tous à la même valeur de b : -2

 Posté par 
mikayaoure : [expresso]_JFF_borneo = (moomin+1)/kevin + (kevin+1)/moomin  06-04-07 à 23:49
bonjour PM

ta résolution m'incite à préciser que ce sont tous des entiers naturels...

 Posté par 
borneore : [expresso]_JFF_borneo = (moomin+1)/kevin + (kevin+1)/moomin  07-04-07 à 10:49
Bonjour,

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on a le droit de prendre les outils qu'on veut ?
 Posté par 
smilre : [expresso]_JFF_borneo = (moomin+1)/kevin + (kevin+1)/moomin  07-04-07 à 10:52
bonjour

la nuit porte conseil :

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je trouve deux suites de nombres entiers, l'une amenant à 3, l'autre à 4

celle qui mène à 3 : 2,3,6,14,35,90,234,611,1598,... on passe d'un terme à l'autre en prenant m = (-1+9k+(5k²-10k+1))/2

celle qui mène à 4 :1,2,6,21,77,286,1066... on passe d'un terme à l'autre en prenant m = (-1+4k+(12k²-12k+1))/2

il suffit alors de prendre deux termes consécutifs de l'une de ces suite pour trouver une valeur de b entière
  Posté par 
mikayaoure : [expresso]_JFF_borneo = (moomin+1)/kevin + (kevin+1)/moomin  07-04-07 à 12:58
bien smil : tu l'as trouvée ta double infinité