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[expresso]_JFF_Des boules tuent des cônes
Bonsoir/Bonjour
Une tite JFF géométrique, pour changer...
Soit un cône de révolution de hauteur H et de diamètre 2R à sa base.
Il est coupé par le plan turquoise-rouge incliné qui sépare son volume intérieur en deux parties ( cette section conique définit donc une ellipse, dessinée en rouge ).
Les distances, a et b, de la pointe du cône aux extrémités de l'ellipse sont définies comme indiquées :
![[expresso]_JFF_Des boules tuent des cônes](img/forum_img/0126/forum_126122_1.gif)
Dans ce cône, on insère deux boules de rayons RA et RB de telle sorte que chaque boule vienne tangenter le plan de l'ellipse aux deux points A et B.
Montrer que les deux points de contacts A et B sont les foyers de l'ellipse.
Bien entendu, il est demandé de répondre en blanqué :
- si vous ne savez pas ce qu'est le blanqué, merci de ne pas participer
- si vous savez ce qu'est le blanqué, effectuez impérativement une prévisualisation de contrôle avant de poster (un oubli de blanqué est si vite arrivé
)
Bonne recherche
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)
tu t'ens doutes cette JFF n'est pas de moi; en revanche son "enrobage" l'est...
Un indice : penser aux caractéristiques d'une conique - en l'occurence une ellipse - vis à vis des double-foyers (faut une bonne vue 
)
mika > On utilise que la distance des deux foyers à l'ellipse vaut le grand axe ?
spmtb > oui il n'y a pas longtemps
attiser, attiser ? je vous donne un soufflet jeune homme et vous propose un duel, demain, aux aurores...
mais j'ai une mémoire d'éléphant 
bon ben, la solution
Choisissons un point M de l'ellipse et traçons la génératrice du cône passant par le sommet du cône et par M.
Cette génératrice est tangente aux deux sphères en P et Q.
Les segments MA et MP sont égaux puisqu'ils sont tous les deux tangents à la même sphère et issus du même point M.
![[expresso]_JFF_Des boules tuent des cônes](img/forum_img/0126/forum_126122_2.gif)
Les segments MB et MQ sont égaux pour la même raison.
On en déduit MA + MB = MP + MQ = PQ
Comme la longueur du segment PQ est constante quel que soit le point M ( puisque P et Q sont définis par les deux cercles parallèles de contact des sphères dans le cône ), on vient de montrer que les points A et B sont tels que pour tout point M de l'éllipse :
MA + MB = Cte => Les points A et B sont bien les foyers de l'ellipse.
Cette démonstration relative aux points de contact de deux sphères avec un plan coupant un cône constitue le Théorème de Dandelin.
Son intérêt didactique est d'établir une passerelle entre deux notions servant à définir une même courbe à deux époques différentes :
¤ pour les Anciens, l'ellipse est définie comme une section conique ( courbe obtenue à l'intersection d'un plan et d'un cône de révolution ),
¤ tandis qu'au 16ème siècle, sa définition fait intervenir deux points particuliers : les foyers ( lieu géométrique des points dont la somme des distances aux deux foyers est constante ).
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Le théorème de Dandelin
Etant donné un cône de révolution et un plan de section elliptique E, il existe de part et d'autre de ce plan deux sphères S et S' inscrites dans le cône et tangentes au plan E.
Les points de contact f et f' des sphères avec le plan sont les foyers de l'ellipse E.
![[expresso]_JFF_Des boules tuent des cônes](img/forum_img/0126/forum_126122_3.gif)
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Nota : les H, R, RA, RB, a et b n'étaient là que pour vous perturber... en vain !
Merci pour votre participation
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