[expresso]_JFF_Flocon de Von Koch

 Niveau énigmesPartager :
			        
[expresso]_JFF_Flocon de Von Koch
Posté par 
mikayaou  07-06-07 à 19:42
Bonjour

Une tite JFF géométrique 

Citation :

Vous connaissez tous le flocon de Von Koch, un objet fractal qui est l'objet limite obtenu en partant d'un triangle équilatéral de côté 1, en lui greffant trois triangles de côtés 1/3 , en greffant à chacun de ces nouveaux triangles des triangles de côtés 1/9,....

Un p'tit dessin valant mieux que tout une prose :

Selon le principe de construction exposé ci-dessus :

- quelle serait l'aire du flocon obtenu à l'étape n ?

- la limite de cette aire est-elle finie quand n tend vers l'infini ?

- mêmes questions en remplaçant aire par périmètre.

Question subsidiaire :

Qui c'est ? pourquoi ?

Comme d'hab' : réponse détaillée mais blanquée ( un aperçu peut être nécessaire pour certain(e)s  )

 Posté par 
mikayaoure : [expresso]_JFF_Flocon de Von Koch  07-06-07 à 19:44
petit pb d'échelle : bien entendu, le triangle initial jaune est plus petit, identique à celui mauve pointe en haut...

 Posté par 
infophilere : [expresso]_JFF_Flocon de Von Koch  07-06-07 à 19:44
Bonsoir 

 Cliquez pour afficher
Je connais déjà le problème, je crois que l'aire est finie mais que le périmètre est infini, comme les contours de la bretagne 

 Posté par 
mikayaoure : [expresso]_JFF_Flocon de Von Koch  07-06-07 à 19:45
 Cliquez pour afficher
c'est une partie de la réponse
, Kévin,  Cliquez pour afficher
qu'il faut démontrer...

 Posté par 
borneore : [expresso]_JFF_Flocon de Von Koch  07-06-07 à 19:49
Sympa, ta JFF. Je vais chercher  
 Posté par 
infophilere : [expresso]_JFF_Flocon de Von Koch  07-06-07 à 19:54
 Cliquez pour afficher
On crée une suite géométrique qui donne le périmètre. On remarque qu'il y a 3 côtés puis 12, puis 48... donc on pose U_n = 3*4^n. Et à chaque fois le côté est divisé par trois, donc au bout de n fois on a (1/3)^n comme longueur du côté. Donc le périmètreest de 3*4^n*(1/3)^n = 4^n*(1/3)^(n-1) = 4^n / 3^(n-1). Et la limite tend vers +oo. Par contre pour l'aire j'arrive pas généraliser.
 Posté par 
infophilere : [expresso]_JFF_Flocon de Von Koch  07-06-07 à 19:57
Le bac du Liban m'appelle, je chercherais plus tard 
 Posté par 
Nightmarere : [expresso]_JFF_Flocon de Von Koch  07-06-07 à 20:02
Salut mikayaou 

 Cliquer ici pour voir la réponse

On note kn le nombre de côtés du polygône

ln la mesure d'un côté du polygôme

pn le périmètre et An l'aire.

A chaque découpage il y a 4 fois plus de côté.

Suite géométrique de raison 4 :

A chaque découpage, un côté est divisé en 3. suite géométrique de raison 1/3 :

d

On a :

(pn) géométrique de raison supérieure à 1 donc diverge vers +oo.

On note 

an représente l'augmentation d'aire du rang n au rang (n+1). Or, pour passer d'un rang à l'autre, on a construit kn triangles équilatéraux de côté ln+1.

D'où :

Par itération on a rapidement :

Après quelques calculs :

Au final :

Jord
 Posté par 
Marie-Cre : [expresso]_JFF_Flocon de Von Koch  07-06-07 à 20:07
Salut

Moi, j'en sais rien, mais sympas ces flocons
 Posté par 
lafol re : [expresso]_JFF_Flocon de Von Koch  07-06-07 à 21:54
Alors la subsidiaire : 
 Cliquez pour afficher
il s'agit du sieur Sierpinski, à qui on doit le tamis et le tapis (de Sierpinski  ), qui sont des fractales self similaires, comme le flocon de von Koch
 Posté par 
jamo re : [expresso]_JFF_Flocon de Von Koch  07-06-07 à 22:39
Et celle-là, elle est pas jolie 

 Posté par 
borneore : [expresso]_JFF_Flocon de Von Koch  07-06-07 à 22:42
Bonsoir,

très sympa, ta JFF

 Cliquez pour afficher
Je l'ai fait calculer à l'ami excel, qui trouve une limite infinie pour le périmètre, et une limite finie pour l'aire, comme on aurait pu intuitivement s'en douter. Je mettrai mon tableau quand tout le monde aura répondu, c'est assez impressionnant. 

 Posté par 
plumemeteorere : [expresso]_JFF_Flocon de Von Koch  07-06-07 à 23:20
bonsoir

 Cliquez pour afficher
le périmètre est toujours multiplié par 4/3, ce qui le rend indéfiniment grand

à chaque étape, le périmètre est 4/3 plus grand avec des côtés trois fois plus petits; le nombre de côtés et donc d'ajout de surfaces est multiplié par quatre, mais chaqu surface est neuf fois plus petite

ajout d'aire : 1/3 du triangle initial * somme de toutes les puissances de 4/9 = 1/3 * (1/(9/4 -1)) = 1/3*0,8 = 0,8/3

l'aire tend vers 3,8/3 = 1,26666 triangle

question subsidiaire : je propose notre ami Fractal
 Posté par 
borneore : [expresso]_JFF_Flocon de Von Koch  07-06-07 à 23:53
Coucou, je teste le nouveau blanquage :

 Cliquez pour afficher

Alors, c'est qui la blonde ? 
 Posté par 
borneore : [expresso]_JFF_Flocon de Von Koch  07-06-07 à 23:55
Plumemeteore :

 Cliquez pour afficher
M'enfin, je suis sûre qu'il est bien plus mignon ! 
 Posté par 
plumemeteorere : [expresso]_JFF_Flocon de Von Koch  08-06-07 à 08:43
bonjour

 Cliquez pour afficher
j'ai oublié un terme 1/3 dans ma réponse

la surface devient 1,6 triangle ou 8/5

il est étonnant qu'une courbe aussi complexe ait une aire simple
 Posté par 
mikayaoure : [expresso]_JFF_Flocon de Von Koch  08-06-07 à 08:47
bravo à lafol pour la subsidiaire !

  Posté par 
Nightmarere : [expresso]_JFF_Flocon de Von Koch  08-06-07 à 12:27
Et pour la question principale?