Oups mauvaise balise

Salut mikayaou

Bonjour,

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A chaque transvasement, la bouteille qu'on vient de remplir a une concentration en framboise égale à la moyenne des concentrations des deux bouteilles avant le transvasement.
L'autre bouteille garde sa concentration.

La concentration des deux bouteilles tend vers la limite 5/3 %.
Au bout de neuf opérations, les concentrations en framboise sont:
1.669921875 % pour la bouteille A,
1.660156250 % pour la bouteille B.

Le rapport A/B vaut alors 1.005882..., passant pour la première fois sous 1 + 1 %.
Le rapport B/A vaut, lui, 0.994152..., passant pour la première fois au-dessus de 1 - 1 %.

L'une ou l'autre de ces conditions peut définir " à moins de 1% ". Comme elles se vérifient en même temps, y'a pas de souci...

Bon goûter, moomin et Kevin!

merci gloubi pour cette première réponse
laissons venir d'autres réponses...en attendant, à la vôtre !
.

Bonjour,

Je viens d'en acheter 3 sur les 4 proposées (il y aussi "light", c'est sans sucre mais avec édulcorant alors j'ai laissé tombé).

J'ai gouté le classic : très agréable. A essayer en coktail...

Je rega

merci kiko21 : pour ma part, j'ai trouvé le Cranberry-Framboise trop sucré, comme moomin
.

...rde pour la JFF.

A+, KiKo21.

P.S. fausse manip ??????

Re

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Au 9ème transvasement, il y 171/512^ème de cranberry-framboise dans la bouteille A
contre 85/256^ème = 170/512^ème de cranberry-framboise dans la bouteille B
ce qui donne une différence de 1/512^ème soit 1/170 = 0,588%
en comparant à la plus petite des deux proportions soit 85/256^ème
Les pourcentages de framboise sont respectivement de 171/10240 = 1,67% en A et 170/10240 = 17/1024 = 1,66% en B

merci kiko21
.

Salut à tous.

Mikayaou, surtout ne corrige pas trop vite. Je suis nulle en charades, mais je vais tenter celle-ci.  

merci borneo de rappeler les charades, c'est sympa
.

Bonjour,

De passage sur l'île (je n'ai le bac que pour un aller retour furtif... ), je vous livre mes réflexions sous forme d'un tableau cher à borneo (coucou) :
Voici le détail des colonnes :
N : nombre de transvasements; N=0 correspond à l'état initial
2^N : valeur qui apparaît en dénominateurs dans les différents rapports
Les 4 colonnes (C à F) correspondent aux numérateurs des colonnes postérieures servant aux calculs de quantités en litre (G à K) et de pourcentages (L à P).
Les colonnes rouges correspondent au contenu de la bouteille appelée A, celle contenant initialement un demi-litre de Canberry-Framboise.
Les colonnes vertes correspondent au contenu de la bouteille appelée B, celle contenant initialement un litre de Canberry-Classic.
Les colonnes "sens" correspondent aux sens de transvasement, de A vers B ou de B vers A
Les colonnes % indiquent les pourcentages des produits A et B dans chacune des bouteilles A et B à l'issue du nième transvasement.

Pour le fameux "... identique, à moins de 1%,...", j'ai déterminé les deux pourcentages en calculant les deux rapports :
¤ écart entre les quantités de A contenues dans les bouteilles A et B divisé par la quantité de A contenue dans la bouteille A,
¤ écart entre les quantités de A contenues dans les bouteilles A et B divisé par la quantité de A contenue dans la bouteille B,
Ce n'est (ce ne serait) qu'au neuvième transvasement que les 2 pourcentages sont, tous deux, inférieurs à 1%.

Une remarque pour la détermination des cellules des colonnes C à F.
On peut faire apparaître la suite u(n+2) = u(n+1)+2u(n) avec u(1)=u(0)=1 pour N=1 et C4 et D4;
On trouve alors C6=D4+2C4 et D6=C6+2D4 puis C8=D6+2C6 et D8=C8+2D6, etc.

La question que je me pose est :
Comment déterminer u(n)=f(n) pour la relation u(n+2) = u(n+1)+2u(n) avec u(1)=u(0)=1  ?
(Fibonacci est-il dans le coup ?)

Oops, désolé pour borneo, je viens de (re)lire ton post de 17:01

ne lis donc pas le corrigé (si tant est qu'il soit complètement juste) ci-dessus

Au fait, sait-on blanquer des images jointes ? (je pense que non, non ?)
.

Ce n'est pas grave, je vais réussir à ne pas regarder.  

Allez, je n'ai pas regardé, j'espère que c'est bon.

Avec excel, on écrit les formules sur 2 lignes, et on recopie une ligne sur deux.
Voilà ce que je trouve :

Mikayaou, je viens de regarder ta solution. C'est trop calé pour moi, mais je trouve pareil.

Bonjour,

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Il vaut mieux exprimer le % de différence par rapport à la bouteille qui a la plus petite teneur soit la B...

Bravo à tous : je n'ai plus de smileys en stock pour les distribuer

En revanche, y aurait-il quelqu'un pour me résoudre ceci :

on donne u(0)=1 et u(1)=1

u(n+2) = u(n+1) + 2u(n) pour n>=0

Peut-on exprimer u(n) = f(n) ?

Vou remarquerez que le u(n) est la valeur des cellules C(N) et D(N) pour N impair :
C(2k+1) = D(2k) + 2C(2k) et D(2k+1) = C(2k+1) + 2D(2k)

Merci pour votre analyse (je crois me souvenir d'une relation de type Fibonacci, mais je ne suis capable de le redémontrer)
.

Salut mikayaou

pour u(0)=1, u(1)=1 et u(n+2)=u(n+1)+2u(n), je trouve



sauf erreur de réveillon.

Bonne année à toi et à tous

bonne année !

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supposons qu'à un moment donné dans leur quantité de framboise exprimées en fraction de quart de décilitre, les bouteilles aient le même dénominateur, l'une un numérateur n et l'autre un dénominateur 2n+1 (il est évident qu'à tout moment somme des numérateurs = dénominateur commun)
on double les dénominateurs : les numérateurs deviennent 4n+2 et 2n
on transfère la moitié de la bouteille '4n+2' dans la bouteille de 2n : les numérateurs deviennent 2n+1 et 4n+1
si on pose m = 2n+1, les numérateurs sont m et 2m-1
après doublage des dénominateurs : 2m et 4m-2
après nouveau transfert : 4m-1 et 2m-1
si on pose l = 2m-1, les numérateurs sont l et 2l+1

or au départ, les numérateurs sont déjà de la forme 2n+1 et n (1/4 et 0/4) et on voit par alternance que le transfert passe de la bouteille au plus grand numérateur à la bouteille au plus petit dénominateur

soit t le nombre de transfert
le plus grand dénominateur moins le double du plus petit est 1 après un t pair et -1 après un t impair; le dénominateur étant 1/t^n
quantité de framboise (en quart de décilitre) dans le demi-litre après un t pair : (((2^t)-1)/3)/(2^t)
= ((2^t)-1)/(3*2^t) = 1/3 - 1/(3*2^t)
après un t impair : (((2^t)+1)/3)/(2^t) = ((2^t)+1)/(3*2^t) = 1/3 + 1/(3*2^t)
la quantité de framboise dans le demi-litre se rapproche de la valeur cible 1/3 de 1/(3*2^t), en clair : 0,008333.../(2^t) litres
après treize transfert, il n'y aura plus qu'un millimètre cube de différence

Bonne année à tous les amateurs de JFF !

Les vrais passionnés cherchent même quand la solution est donnée

bonjour Mikayaou et Borneo !
j'ai écrit une solution expliquée; les autres n'ont donné que des réponses

merci littleguy pour ton post de l'année dernière , le 31/12/2006 à 23:08 !

Pourrais-tu m'expliquer la méthode pour obtenir cette jolie formule (je pense, d'ailleurs, que tu as fait une petite coquille et que c'est plutôt u(n) = ( 2^(n+1) + (-1)^n )/3 ) ou me fournir un lien me l'expliquant ?

Merci encore à toi et mes meilleurs voeux 2007 !
.

Bonjour mikayaou

u_n+2 = au_n+1+bu_n

On enseignait ça en TC au début des années 80 (il y a beaucoup de traits communs avec les équations différentielles du second ordre) :

L'ensemble (S_n) des suites vérifiant cette relation est un espace vectoriel réel.

Grosso modo,, on peut trouver deux suites (v_n) et (w_n) qui engendrent (S_n), bref telles que

(u_n) = a(v_n)+b(w_n)

Comment trouver ces deux suites :

u_n+2 - au_n+1-bu_n = 0

équation "caractéristique" : r²-ar-b = 0

- Si > 0, ce qui est le cas dans ton exemple) l'équation ci-dessus a deux solutions réelles r₁ et r₂, et on peut prendre :

v_n = r₁ⁿ et w_n = r₂ⁿ

Les valeurs de a et b sont ensuites déterminées par les "conditions initiales" (valeurs de u₀ et u₁)

- D'autres "formules" sont trouvées lorsque Delta est nul et lorsque Delta est strictement négatif.

Je n'ai rien démontré (ça se faisait en TC), j'ai juste donné les grandes lignes de la démarche. Il y a certainement des liens sur ce sujet.

Je me suis trompé dans l'aplication numérique ?

Bonne année quand même

Merci encore
.

Bonjour,
crannbery est le nom anglais du fruit.
Le nom francais est la canneberge.
a+

En effet, Otto (et bonne année)
C'était une des questions subsidiaires de borneo dans sa JFF mise en référence
.

Ok, au temps pour moi, je n ai pas lu toutes les reponses.
Bonne annee a toi et a toute l ile.
a+

> mikayaou : un lien

merci littleguy...mais ça semble planer un peu (trop) haut pour moi

T'aurais pas plus accessible, en stock ?
.

euh... Je suppose que je dois prendre ça au second degré . Autrement j'ai quatre pages de cours là-dessus, mais qui correspondent globalement au lien.

Au fait je suppose que tu as rectifié de toi-même : dans ma première explication a et b sont utilisés à tort dans deux "acceptions différentes" : j'ai eu la flemme d'utiliser et dans "grosso modo", et donc à la fin aussi.

je n'ai toujours pas vu mon erreur numérique (pas trop cherché non plus...)