Cliquez pour afficher En modifiant l'équation, on doit trouver tous les couples (X,Y) tels que 5X+3Y=XY dans le cas où a=1/3 et b=1/5
Je considère d le pgcd de X et Y, alors on a X=dX' et Y=dY' avec X' et Y4 premiers entre eux
On aboutit à la nouvelle équation 5X'+3Y'=dX'Y' et on trouve alors que X' divise nécessairement 3 donc il vaut soit 1, soit -1, soit 3 soit -3.
De même, on a que Y' vaut soit 1, soit -1, soit 5 soit -5.
En vérifiant toutes les possibilités on trouve à chaque fois une valeur de d donc les valeurs de X et Y.
Je trouve ainsi 8 couples :
(8,8), (-2,2), (4,20) (2,-10), (18,6), (12,4), (6,10), et (0,0)
Pour l'autre cas, c'est la même chose : 8 couple. Ce sont alors les couples précédents dont il faut échanger les deux composantes, à savoir :
(8,8), (2,-2), (20,4) (-10,2), (6,18), (4,12), (10,6), et (0,0).