[expresso]_JFF_l'île de beauté

 Niveau énigmesPartager :
			        
[expresso]_JFF_l'île de beauté
Posté par 
mikayaou  24-04-07 à 12:40
Bonjour

Une tite JFF à emporter sur la plage !

Citation :

L'île des maths est un triangle ABC avec des plages AB, AC, BC parfaitement rectilignes.

Une route parfaitement circulaire, de 21 km de rayon, dessert les 3 plages en les tangentant parfaitement.

( tout est parfait, sur l'île  )

Cette route partage la plage BC en deux plages de 23 km et 27 km.

Combien y a-t-il de km de plage sur notre île magnifique ?

Bien entendu, pour le respect de la recherche des autres mathîliens, une réponse blanquée est requise ( un Aperçu avant de Poster est bien pratique... )

N'hésitez pas à détailler votre résolution...en blanqué 

----------------------

Une question subsidiaire :

Qui est ce personnage et pourquoi est-il là ?

Bonne résolution !

 Posté par 
lo5707re : [expresso]_JFF_l'île de beauté  24-04-07 à 12:51
Parfait,

on cherche

 Posté par 
lo5707re : [expresso]_JFF_l'île de beauté  24-04-07 à 13:38
 Cliquez pour afficher
J'appelle O le centre du cercle, 

M le point de tangente sur BC,

N le point de tangente sur AC,

P le point de tangente sur AB

le triangle OMC est rectangle en M, OM = 21 et MC = 23

par notre ami Piet Hagore je trouve OC = V970

puis toujours grace à Piet, dans le triangle ONC je trouve NC = 23

même chose pour OMB et OPB, je trouve PB = 27

A partir d'ici j'ai un doute...

PBM est isocèle, ainsi que MCN

puis-je supposer que NAP l'est également? à priori je dirais que oui mais sans certitude

On aurait alors, en utilisant les relations de Piet dans le triangle APC:

AN = 30,22 (arrondi)

ça me parait quand même bizarre car décimal...

L'île aurait alors un total (un peu moins parfait) de 160,44 km de plages.

Suis-je dans le bon?
 Posté par 
gloubire : [expresso]_JFF_l'île de beauté  24-04-07 à 13:43
Bonjour,

 Cliquez pour afficher
Connaissant le rayon du cercle inscrit, et les valeurs 23 et 27 km, on calcule aisèment les demi-angles en B et C (Arctg(21/27)...). On en déduit l'angle en A, et donc sa tangente, 21/x tel que 2*(23+27+x) représente la longueur des plages de l'île.

On trouve x = 122.5 et donc l'île compte 345 km de plage. 

Il y a sûrement une méthode plus élégante.

 Posté par 
mascatere : [expresso]_JFF_l'île de beauté  24-04-07 à 14:18
 Cliquez pour afficher
en utilisant les triangles rectangles de sommet commun=I centre du cercle inscrit, il vient tan(B/2)=21/27  tan(C/2)=21/23 et tanA/2= 21/a où a est la distance séparant le point de tangence du cercle du point A.

Or A/2+B/2+C/2=90°

cotan (A/2)=[tan(C/2)+tan(B/2)[/[1-tan(C/2)tan(B/2 )]

il vient a= 122,5 km et le périmètre du triangle ABC= longueur des plages vaut 345 km
 Posté par 
smilre : [expresso]_JFF_l'île de beauté  24-04-07 à 15:13
 Cliquez pour afficher
je trouve des angles en A = 19,5°, en B = 75,75°, en C = 84,8°

et une longueur totale de plage de 2*(27+23+122,5) = 345 km
 Posté par 
lo5707re : [expresso]_JFF_l'île de beauté  24-04-07 à 15:35
 Cliquez pour afficher
bon j'imagine que j'ai dû me planter... 
 Posté par 
mikayaoure : [expresso]_JFF_l'île de beauté  24-04-07 à 15:54
bonjour à toutes et tous

 Cliquez pour afficher
parfait
mascate et gloubi 

 Cliquez pour afficher
à revoir
lo

et la subsidiaire ? 
 Posté par 
mikayaoure : [expresso]_JFF_l'île de beauté  24-04-07 à 15:55
oops oubli de smil à associer à mascate et gloubi

bonne bronzette sur les plages îliennes, je viens vous rejoindre 

 Posté par 
smilre : [expresso]_JFF_l'île de beauté  24-04-07 à 16:02
question subsidiaire

 Cliquez pour afficher
aucune idée !!
 Posté par 
lo5707re : [expresso]_JFF_l'île de beauté  24-04-07 à 16:04
pour la subsidiaire : 

 Cliquez pour afficher
moi non plus

 Posté par 
mikayaoure : [expresso]_JFF_l'île de beauté  24-04-07 à 16:11

alors, un indice :

Citation :

Indice_1 : l'image de la couverture du livre dans sa version française est 

A vous

 Posté par 
lo5707re : [expresso]_JFF_l'île de beauté  24-04-07 à 16:12
Ca c'est un indice de chez Indice !!! 
 Posté par 
smilre : [expresso]_JFF_l'île de beauté  24-04-07 à 16:13
 Posté par 
lo5707re : [expresso]_JFF_l'île de beauté  24-04-07 à 16:14
 Cliquez pour afficher
un rapport avec la Corse?
 Posté par 
mikayaoure : [expresso]_JFF_l'île de beauté  24-04-07 à 16:15

attends un peu lo

chez certains mathîlien(ne)s, cet indice peut en être un vrai ( par ailleurs, l'eau de l'image plus le titre de la JFF peuvent peut-être vous aider ? )

 Posté par 
mikayaoure : [expresso]_JFF_l'île de beauté  24-04-07 à 16:15
posts simultanés

non, pas la Corse 

 Posté par 
mascatere : [expresso]_JFF_l'île de beauté  24-04-07 à 16:27
 Cliquez pour afficher
aucune idée pour la question subsidiaire; 

je retourne sur mon île réelle (Abu Dhabi); 

ce matin la baignade était excellente et la mer de toute beauté!

bonne fin d'après midi!
 Posté par 
mikayaoure : [expresso]_JFF_l'île de beauté  24-04-07 à 16:38
arrête mascate, tu nous fais du mal 

 Posté par 
mikayaoure : [expresso]_JFF_l'île de beauté  24-04-07 à 22:10
elle plaît pas, la subsidiaire ?

 Posté par 
moominre : [expresso]_JFF_l'île de beauté  24-04-07 à 22:33
Bonsoir à tous 

 Cliquez pour afficher
Chypre ? (l'île de Vénus)
 Posté par 
lafol re : [expresso]_JFF_l'île de beauté  24-04-07 à 23:12
Bonsoir

la subsidiaire à tout hasard : 
 Cliquez pour afficher
zorba le grec, la crète
 ?
 Posté par 
plumemeteorere : [expresso]_JFF_l'île de beauté  24-04-07 à 23:20
bonsoir

 Cliquez pour afficher
dans le triangle abc

l'angle b est le double de l'angle de tangente 21/23

l'angle c est le double de l'angle de tangente 21/27

on en déduit que la moitié de l'angle a = 0.12525 pi

21/longueur manquante = tangente de cet angle; longueur manquante = 21/tangente de cet angle = 166.78261

plage = (23+27+166.78261)*2 = 433.565 km
 Posté par 
freniclere : [expresso]_JFF_l'île de beauté  24-04-07 à 23:45
Bonsoir,

 Cliquez pour afficher
Je propose une variante sans trigonométrie pour la première question.

Les côtés du triangle ont pour longueurs a = 50, b = 27 + x, et c = 23 + x.

Le demi-périmètre p vaut donc 50 + x, et Héron nous dit que le carré de l'aire vaut

p(p - a)(p - b)(p - c) = 621.(50 + x).x

Or l'aire est aussi égale au produit de p par le rayon du cercle inscrit.

On a donc   621.(50 + x).x = 21².(50 + x)² ou 621.x = 441.(50 + x).

On en déduit x = 122,5 et 2p = 345.

Cordialement

Frenicle
 Posté par 
borneore : [expresso]_JFF_l'île de beauté  24-04-07 à 23:45
Bonjour,

 Cliquez pour afficher
Un peu de trigo avec les tangentes et je trouve les angles :

angle A	0,34

angle B	1,48

angle C	1,32

 (en radians)

et je trouve le tour de l'île = 345 km

étonnant que ça tombe juste  

Merci pour cette JFF

Pour la subsidiaire, je cherche 
 Posté par 
borneore : [expresso]_JFF_l'île de beauté  24-04-07 à 23:56
Je pense à 
 Cliquez pour afficher
l'Atlantide

 Posté par 
mikayaoure : [expresso]_JFF_l'île de beauté  25-04-07 à 08:29
bonjour à tous

jolie démo de frenicle (qui nécessite cependant de connaître Héron et ses formules...  )

quelques erreurs, aussi;

je prépare une solution trigo commentée qui ne demande que de connaître tan(a+b) = (tan(a)+tan(b))/(1-tan(a)tan(b))

la subsidiaire, en revanche, est toujours vivante...

un indice ?

Citation :

Indice_3 : Dans l'énoncé apparaîssent deux mots à trois reprises dont l'introduction dans Google fournit, en deuxième position, le roman cherché

A vous pour l'estocade !

 Posté par 
lafol re : [expresso]_JFF_l'île de beauté  25-04-07 à 09:28

j'ai essayé "plages" et "parfaitement", ça ne donne rien, et je ne vois aucun autre mot signifiant répété trois fois dans l'énoncé ....
 Posté par 
lo5707re : [expresso]_JFF_l'île de beauté  25-04-07 à 09:43
il y a aussi "ile" mais ca ne donne rien non plus avec les deux autres...
 Posté par 
chaudrackre : [expresso]_JFF_l'île de beauté  25-04-07 à 11:26
 Cliquez pour afficher
Je propose

Denis Piat avec "sur la route des épices" concerant l'ile maurice

@ plus, Chaudrack
 Posté par 
mascatere : [expresso]_JFF_l'île de beauté  25-04-07 à 11:27
 Cliquez pour afficher
"Ile" de Aldous Huxley  obtenu en entrant"ile parfaite" dans google
 Posté par 
mikayaoure : [expresso]_JFF_l'île de beauté  25-04-07 à 12:15
bonjour à toutes et tous

parfait mascate !

  Posté par 
mikayaoure : [expresso]_JFF_l'île de beauté  25-04-07 à 21:17
alors un exemple de résolution  :

appelons D le point tel que BD=23 et DC=27, O le centre du cercle et E le point de tangence sur AB tel que x=EA

le périmètre P = 2(23+27+x) = 100+2x

dans BDO rectangle en D : b, l'angle en O est tel que tanb = 23/21

dans CDO rectangle en D : c, l'angle en O est tel que tanc = 27/21

dans AEO rectangle en E : a, l'angle en O est tel que 2a+2b+2c=2pi => a = pi - (b+c)

on a la relation tan(a)=x/21 => x=21tana

or tan(a) = tan(pi-(b+c)) = -tan(b+c) = -(tanb+tanc)/(1-tanbtanc) = (tanb+tanc)/(tanbtanc-1) = (23/21 + 27/21)/(23*27/21² - 1) = 21*50/(23*27-21²) = 1050/180 = 35/6

x = 21tan(a) = 21*35/6 = 122,5 d'où P = 100+2x 

P = 345 km ( un nombre entier, c'est encore une fois parfait  )

mascate a trouvé la question subsidiaire : le roman d'Aldous Huxley ( le personnage en photo ) " Island " ou " Île " , une île parfaite !

merci pour votre participation !

appréciez aussi la résolution de frenicle le 24/04/2007 à 23:45