Cliquez pour afficher

dans la Drôme ?  

 Cliquez pour afficher

par récurrence.

on vérifie rapidement que ca marche pour 0 et 1.

ensuite, on vérifie au terme (n+1)

0! + 1! + 2! + ... + (n+1)! = [0! + 1! + 2! + ... + n!] + (n+1)! < (n+1)! + (n+1)!

0! + 1! + 2! + ... + (n+1)! < 2*(n+1)!

or pour n>1, n+2>2

donc (n+2)(n+1)! > 2(n+1)!
donc (n+2)!>2(n+1)!

et donc

0! + 1! + 2! + ... + (n+1)! < 2*(n+1)! < (n+2)!

voilou

 Cliquez pour afficher

ps: j'ai eu la flemme de faire l'initialisation, evidemment j'aurais du faire pour 2 et pour 3, pas 0 et 1

 Cliquez pour afficher

ben quoi, c'est une démo comme une autre non?

 Cliquez pour afficher

bon je vais te pondre une démo plus arithmétique alors

ps: si j'y arrive

 Cliquez pour afficher

alors, pour n>1 , et x < n:

x!<n!

donc

0! + 1! + 2! + ... + n! < n! +n! + n! + ... + n!

0! + 1! + 2! + ... + n!< n * (n!)

or n+1 > n

donc (n+1)*n! > n*(n!)

(n+1)! > n*(n!)

0! + 1! + 2! + ... + n! < (n+1)!

 Cliquez pour afficher

autant pour moi tu as raison.

en fait j'ai direct la solution ^^

je reprend à la 5eme ligne

0! + 1! + 2! + ... + n! < (n+1)n!


0! + 1! + 2! + ... + n! < (n+1)!

 Cliquez pour afficher

une récurrence peut faire l'affire pour démontrer que (2n)! < n²ⁿ, mais je veux pas me faire gronder, alors une autre solution ^^

on sait que

si n=(a+b)/2 ou n=(a+b-1)/2 (c'est à dire si n est le milieu des entiers a et b), alors n²>ab

donc:

80!=(1*80)*(2*79)*(3*78)....(41*40) (il y a 40 doublets)

en utilisant la forule au dessus :


2*79 < 40²
3*78 < 40²
...
43*37 < 40²

je met expres 3 termes de coté car il m'embetent dans ma démo

de plus:

1*80*38*39*41*42 < 40⁶ (de facon évidente, notemment à cause du 1.)

donc au final :

(1*80)*(2*79)*(3*78)....(41*40) < 40²*40²*40²...(37doublets)...*40⁶

(1*80)*(2*79)*(3*78)....(41*40) < 40⁸⁰

c'est pas super propre, mais bon... :p

 Cliquez pour afficher

il faut comparer la somme de n+1 nombres égaux à n! avec la somme de n+1 nombres tous inférieurs à n! sauf un qui lui est égal (ce qui est le cas dès que n >=2)
il en ressort que (n+1)! > la somme des factorielles de 0! à n!

40^80 a un facteur 40, deux fois trente-neuf facteurs 40 et encore un facteur 40
80! a un facteur 40 en commun avec 40^80
trente-neuf paires de facteurs de somme 80 et dont le produit est inférieur au produit des paires de facteurs 40 : (40+d)(40-d) = 40²-d² < 40²
80 qui comparé à 40 ne suffit pas à résorber le retard, le produit 79*1 étant déjà inférieur à la moitié de 40² : n²/(2n-1) > 2 ou n² > 4n-2 dès que n >=4

on a 4! > 2^4 mais déjà 6! < 3^6

 Cliquez pour afficher

problème de départ : récurrence (tant pis pour Estelle, elle verra ça l'an prochain )
2° pb : 2*78 est le carré de la moyenne géométrique de 2 et 78, inférieure à la moyenne arithmétique 40, donc 2*78<40². pareil pour 3*77,..., 39*41
donc 2*78*3*77*....*39*41*40<40⁷⁶⁺¹
il ne manque dans la factorielle que 79*80 = 79*2*40, et 79*2 < 80*2 < 40*4*10, donc 79*80 < 40³
donc 80! < 40⁸⁰