Salut mikayaou

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Notons p, q et r ces 3 nombres premiers
Par hypothèse le produit pqr est égale à 7 fois la somme p+q+r, donc pqr=7(p+q+r)
7 divise le membre de droite donc il divise aussi celui gauche, c'est-à-dire pqr.
Or 7 est premier, donc il divise l'un des 3 nombres parmi p, q et r.
Supposons, par exemple que ce soit p.
Mais p est premier, donc p=7.
Ainsi, en simplifiant de chaque côté, l'équation initiale devient qr=7+q+r

donc qr-q-r=7

Or qr-q-r=(q-1)(r-1)-1, donc (q-1)(r-1)=8

q-1 et r-1 sont donc des facteurs de 8. comme q et r sont des nombres premiers, il sont au moins égaux à 2, donc en particulier q-1 et r-1 sont strictement positifs.
Ainsi, q-1 et r-1 appartiennent à l'ensemble {1,2,4,8}
q et r jouant des rôles symétriques, on peut toujours supposer que q est inférieur à r.
Nous avons donc 2 cas :

1er cas : q-1=1 et r-1=8
alors r=9, ce qui n'est possible car 9 n'est pas premier.

2ème cas : q-1=2 et r-1=4
alors q=3 et r=5

on a donc q=3 et r=5

réciproquement si p=7, q=3 et r=5, p, q et r sont bien des nombres premiers qui vérifient l'égalité pqr=7(p+q+r)

Conclusion : les nombres choisis par moomin sont 3, 5 et 7.

merci kaiser pour cette démo très détaillée qui en ravira plus d'un(e)

juste pour le fun, mon titre donnait (presque) la solution...

> Kaiser

question subsidiaire :

pourrait - on créer un énoncé similaire en disant :

k entier naturel, sien bûr !

Bravo Kaiser , ce sont bien les nombres que j'ai choisis

^{Kévin préfère réviser l'histoire pour son bac blanc}

Merci Mikayaou

Merci à tous et merci à mikayaou pour cette JFF !
Je réfléchis à ta question subsidiaire !

Kaiser

> Kaiser, tant que tu y es, tu peux aussi réfléchir à une autre question subsidiaire [expresso]_JFF_l'île de beauté

bonsoir

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l'un des nombres est 7
le produit des deux autres est leur somme plus 7
a+b+7 = ab; a+7 = ab-b; b = (a+7)/(a-1) et symétriquement a = (b+7)/(b-1)
a-1 divise a+7 donc divise (a+7)-(a-1) ou 8
b-1 divise aussi 8
a-1 et b-1 sont 8, 4, 2 ou 1
a et b sont 9, 5, 3 ou 2
9 n'est pas premier
a = 5 : 12+b = 5b; b = 3
a = 3 : 10+b = 3b; b = 5
a = 2 : 9+b = 2b; b = 9, qui n'est pas premier
l'unique solution est 7, 5 et 3

smil > je crois bien que ça dépasse mes compétences !

Kaiser

Pour la question subsidaire :

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Je trouve une condition nécessaire sur k pour qu'un tel triplet de nombres premiers existe : il faut que k soit un nombre premier différent de 2.
En effet, avec mes notations, on a pqr=k(p+q+r).
Comme à gauche, il n'y a qu'un produit de 3 facteurs premiers, alors dans la décomposition de k en facteur premiers, il y a au plus 3 nombres premiers (avec répétition).
Etant donné que p, q et r sont premiers, p+q+r est supérieur ou égal à 6 et donc au moins, l'un des entiers parmi p, q et r apparait dans la décompostion de p+q+r. Ainsi, on voit que la décomposition de k contient au plus 2 nombres premiers avec répétition.
On donc 2 cas :

1er cas : k est un nombre premier
2ème cas : k est le produit de 2 nombres premiers, avec répétition.
dans ce cas, on écrit k=ab avec a et b deux entiers premiers, donc pqr=ab(p+q+r).
a et b divisent le membre de gauche et comme ils sont premiers et que p, q et r le sont aussi, on a par exemple, p=a et q=b, d'om r=p+q+r, d'où p+q=0, ce qui est absurde.


Conclusion 1 : s'il y a une solution, k est nécessairement un nombre premier

On va écarter le cas k=2.
Sinon, avec le même raisonnement que dans mon premier message, on a par exemple, p=2 et (q-1)(r-1)=3, donc q-1=3 ou r-1=3, donc q=4 ou r=4 ce qui impossible car q et r sont premiers.

conclusion 2 : k est nécessairement un nombre premier différent dz 2

salut kaiser

je voulais te faire aboutir à la zolie conclusion (sûrement que partielle) que j'ai trouvé assez étonnante :

en prenant trois nombres premiers dont le premier est 2 et les deux autres des nombres premiers jumeaux, p et p+2

on a alors la valeur du paramètre k = p tel que :

produit des trois premiers = k (somme des trois premiers)

2 p (p+2) = p ( 2 + p + p+2 )

zolie non ?

Salut mikayaou

Effectivement, très zolie !
Si l'un des nombres premiers vaut 2, alors les deux autres sont des nombres premiers jumeaux. Maintenant, le cas général, pour l'instant, j'en sais trop rien.

Kaiser

Bonjour

Merci mika de nous avoir cités ! Petite semaine de bac blanc pour moi, j'ai foiré l'histoire en plus

A bientôt sur l'

bon courage, Kévin

Merci

Demain physique et SVT !

Ne t'inquiète pas Kévin. On s'occupe des exos de ton élève préférée.  

Bonjour à tous

Merci Borneo Enfin, je crois que tu parles de moi
Car si je devais attendre sur Kévin ...je crois qu'il a d'autres occupations intéressantes en ce moment

Le bac blanc, en attendant le vrai bac...